МатВектор

Command Palette

Search for a command to run...

Интерактивный курс

Математический анализ

Главный предмет первого курса: пределы, производные, интегралы, ряды и функции нескольких переменных. Каждый урок — с живыми графиками: крутите ползунки и смотрите, как меняется касательная, площадь под кривой или сумма ряда.

34 тем в программе34 уроков готово Начать первый урок
Навигация по темам и прогресс

Последовательности и пределы

Фундамент всего анализа: как числа «стремятся» и что такое строгое определение предела.

  1. 1Числовые последовательности: от натуральных чисел до пределаЧто такое последовательность, как она ведёт себя на бесконечности и зачем математика придумала бесконечно малые. Живой график, таблица членов и квиз — разберётесь за 25 минут.⏱ 25 минСложность 1/5+60 XP
  2. 2Предел последовательности: определение и примерыОпределение предела через эпсилон и номер N, арифметика пределов, раскрытие неопределённостей и зажатая последовательность — с интерактивами и квизами.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP
  3. 3Предел функции: определение, графики и практикаЯзык эпсилон-дельта, односторонние пределы, определение по Гейне и приёмы вычислений: подстановка, разложение, сопряжённое — с живыми графиками и квизами.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
  4. 4Замечательные пределы: формулы, доказательство, примерыПервый и второй замечательные пределы: геометрическое доказательство, число e, следствия и таблица эквивалентностей для быстрого раскрытия неопределённостей.⏱ 35 минСложность 2/5+65 XP
  5. 5Непрерывность функции и точки разрыва: с графикамиЧто значит «график без отрыва ручки»: определение непрерывности, классификация разрывов первого и второго рода, свойства на отрезке и инструкция по поиску разрывов.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP

Производная

Мгновенная скорость изменения: от секущей до касательной, правила и приложения.

  1. 1Производная: определение, смысл и касательнаяОт средней скорости к мгновенной: определение производной через предел, геометрический смысл, уравнение касательной и нормали, примеры вычисления по определению.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP
  2. 2Правила дифференцирования: сумма, произведение, частноеПравила суммы, произведения и частного с выводом, производные обратных функций, мини-таблица производных и разбор типичных ошибок первокурсника.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP
  3. 3Производная сложной функции: цепное правилоЦепное правило с интуицией и алгоритмом: sin 5x, экспонента с квадратом, многослойные матрёшки, логарифмическое дифференцирование x^x и типичные ошибки.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
  4. 4Производные высших порядков и формула ЛейбницаВторая производная и ускорение, n-е производные базовых функций, цикл синуса, формула Лейбница для произведения и таблица с карточками для запоминания.⏱ 25 минСложность 3/5+55 XP
  5. 5Теоремы о среднем: Ферма, Ролль, ЛагранжПочему у всякой гладкой горки есть горизонтальная площадка: три теоремы о среднем с геометрией, следствиями для монотонности и разбором условий на примерах.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
  6. 6Правило Лопиталя: как раскрывать неопределённостиФормулировка для 0/0 и бесконечность/бесконечность, условия применимости, другие неопределённости через логарифм, случай, когда Лопиталь зацикливается, и история покупки метода.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
  7. 7Исследование функции и построение графика: планПолный протокол исследования: область определения, экстремумы по первой и второй производной, выпуклость, перегибы, асимптоты и два разобранных примера с графиками.⏱ 40 минСложность 4/5+70 XP
  8. 8Формула Тейлора: разложения и приближенияКак калькулятор считает синус: локальная формула Тейлора, разложения Маклорена для e^x, sin, cos и ln, остаточный член Лагранжа и пределы одной строкой.⏱ 35 минСложность 4/5+70 XP

Интегралы

Обратная задача анализа: площади, объёмы и работа в одном флаконе.

  1. 1Неопределённый интеграл: первообразная, свойства и таблицаОбратная задача анализа: как по производной восстановить функцию. Первообразная, свойства интегрирования, таблица интегралов и проверка дифференцированием — с интерактивами.⏱ 25 минСложность 2/5+60 XP
  2. 2Метод замены и интегрирование по частям — приёмы с примерамиДва рабочих приёма интегрирования: замена переменной и формула по частям. Пошаговые примеры, как выбрать u и dv, ловушки и проверка ответа.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
  3. 3Интегрирование дробно-рациональных функций: алгоритм и примерыАлгоритм, который не отказывает: деление с остатком, разложение на простейшие дроби, метод неопределённых коэффициентов. Пошагово, с проверками.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
  4. 4Определённый интеграл и формула Ньютона-Лейбница с примерамиОт сумм Римана к формуле Ньютона-Лейбница: что такое интеграл как число, как его считать, какими свойствами он обладает и где подстерегают ловушки.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
  5. 5Приложения определённого интеграла: площади, объёмы, путьИнтеграл как накопитель: площадь между графиками, объём тела вращения, путь и работа. Разобранные примеры с числами, живые графики и типичные ошибки.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
  6. 6Несобственные интегралы: сходимость, признаки, примерыКонечный ответ на бесконечном промежутке: интегралы первого и второго рода, p-интегралы, признаки сравнения и классическая ловушка с разрывом внутри.⏱ 30 минСложность 3/5+70 XP

Функции нескольких переменных и ряды

Второй семестр: градиенты, двойные интегралы и бесконечные суммы.

  1. 1Функции нескольких переменных: область определения и линии уровняЧто такое функция двух переменных, как находить её область определения и что показывают линии уровня: живые графики, разборы с числами и квиз — за 20 минут.⏱ 20 минСложность 2/5+60 XP
  2. 2Частные производные и градиент: производная по одной переменнойЧастные производные шаг за шагом, градиент как стрелка наискорейшего роста и полный дифференциал: живые графики, примеры с числами и квиз за 25 минут.⏱ 25 минСложность 2/5+65 XP
  3. 3Экстремумы функции двух переменных: как найти точки максимума и минимумаНеобходимое условие через частные производные, критерий AC − B², седловые точки, разбор классического кубического примера и обоснование через Тейлора — за 30 минут.⏱ 30 минСложность 4/5+75 XP
  4. 4Условные экстремумы и множители Лагранжа: экстремум при ограниченииПоиск максимума при связи g = 0: подстановка против метода множителей, система Лагранжа, геометрия касания градиентов и классические примеры с числами.⏱ 30 минСложность 4/5+75 XP
  5. 5Приложения двойных интегралов: масса, центр тяжести, моменты инерцииМасса пластинки с переменной плотностью, статические моменты и центр тяжести, моменты инерции, полярные координаты — формулы с выводом и разбором на числах.⏱ 30 минСложность 3/5+70 XP
  6. 6Двойные интегралы: объём над областью и повторное интегрированиеДвойной интеграл как объём над областью: сведение к повторному, смена порядка, полярные координаты и живая сумма Римана — разберётесь за 25 минут.⏱ 25 минСложность 3/5+65 XP
  7. 7Тройные интегралы: как вычислять объём, массу и моментыСчитаем тройные интегралы в декартовых, цилиндрических и сферических координатах: объём параболоида, масса шара, момент инерции и центр тяжести — с проверкой каждого числа.⏱ 33 минСложность 3/5+68 XP
  8. 8Числовые ряды: сходимость, признаки Даламбера и сравненияКогда бесконечная сумма сходится: частичные суммы, необходимое условие, признаки Даламбера и Лейбница, геометрическая прогрессия и квиз — за 25 минут.⏱ 25 минСложность 2/5+60 XP
  9. 9Ряды с положительными членами: признаки сходимости — сводный разборНавигатор по признакам: сравнение и предельное сравнение, Даламбер, радикальный и интегральный признаки Коши — какой признак включать для каждого вида члена, с примерами.⏱ 30 минСложность 3/5+70 XP
  10. 10Степенные ряды: радиус и интервал сходимости, ряды ТейлораСтепенной ряд — бесконечный многочлен: радиус и интервал сходимости, ряды Тейлора для e^x и arctg x, проверка концов интервала и квиз за 25 минут.⏱ 25 минСложность 3/5+65 XP
  11. 11Ряды Фурье: разложение периодической функции на синусы и косинусыРазложение периодической функции на синусы и косинусы: коэффициенты Фурье, чётность, явление Гиббса и живая сумма гармоник — за 30 минут.⏱ 30 минСложность 4/5+70 XP

Криволинейные интегралы и теория поля

Интегралы вдоль кривой и работа силового поля: потоки, формулы Грина, Стокса и Остроградского–Гаусса.

  1. 1Криволинейные интегралы: по длине дуги и по координатамИнтеграл по кривой: масса провода с переменной плотностью и работа поля вдоль пути. Два рода, параметризация, связь родов и пошаговые примеры с проверкой.⏱ 30 минСложность 3/5+75 XP
  2. 2Кривизна кривой: формула, радиус кривизны и соприкасающаяся окружностьКак числом измерить искривлённость: определение через поворот касательной, формула k = y''/(1 + y'²)^{3/2}, параметрический случай, круг кривизны и эволюта.⏱ 30 минСложность 4/5+75 XP
  3. 3Теория поля: градиент, дивергенция, ротор, потокГрадиент, дивергенция и ротор — три измерителя векторного поля: источники, вихри, поток и формула Грина. Оператор набла и примеры, которые считаются руками.⏱ 30 минСложность 3/5+70 XP
  4. 4Поверхностные интегралы: площадь, поток векторного поля и формула ГауссаИнтеграл по искривлённой поверхности: масса оболочки, поток векторного поля, связь двух родов и теорема Остроградского—Гаусса — с разбором потока через сферу.⏱ 35 минСложность 4/5+80 XP

Босс-экзамен курса

Соберём вопросы из всех уроков — пройдите на 80%+, чтобы получить бейдж «Покорён Матанализ».

В бой