Производные высших порядков и формула Лейбница

Машина разгоняется: спидометр показывает 40, 50, 60 — скорость растёт. А насколько быстро растёт сама скорость? Это уже производная от производной, вторая производная — ускорение. Идея не останавливается на двух: производную можно дифференцировать хоть сто раз, и для серьёзных задач (колебания, ряды, устойчивость) нужны именно старшие порядки.

Вторая производная и её смысл#

Производная функции $f$ — сама функция $f^{\prime }$; её можно продифференцировать снова. Результат называется второй производной и обозначается $f^{\prime \prime }$, $y^{\prime \prime }$ или $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$. Механический смысл прямой: если $s(t)$ — путь, то $v(t)=s^{\prime }(t)$ — скорость, а $a(t)=s^{\prime \prime }(t)$ — ускорение.

Разберём формулу: тело брошено вверх со скоростью 20 м/с, $t$ — время в секундах. Скорость линейно падает на 9.8 м/с каждую секунду — это ускорение свободного падения, постоянное и направленное вниз. В момент $t\approx 2.04$ с скорость обнуляется — верхняя точка траектории. Три строки дифференцирования описали физику броска.

Геометрический смысл второй производной — кривизна формы. Если $f^{\prime \prime }>0$ на интервале, график выпуклый вниз, как чаша: касательные лежат под графиком, а производная растёт. Если $f^{\prime \prime }<0$ — выпуклый вверх, как горка. Точки, где выпуклость меняется, называются точками перегиба; их поиск — обязательный пункт исследования функции, о котором скоро будет отдельный урок.

n-е производные: когда слоёв много#

Вторая, третья, десятая — производные высших порядков записываются $f^{(n)}$, чтобы не рисовать штрихи на полстраницы: $f^{(5)}$ читается «производная пятого порядка». Для базовых функций ответы складываются в красивые закономерности:

Особенно элегантен синус: каждая производная сдвигает фазу на $\frac{\pi }{2}$, и на четвёртом шаге всё возвращается на круги своя. Проверьте: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$, вторая — $-\sin x$, третья — $-\cos x$, четвёртая — снова $\sin x$. Цикл замкнулся.

Формула Лейбница для произведения#

Как дифференцировать произведение $n$ раз? Обычное правило $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ обобщается, и обобщение удивительно похоже на бином Ньютона:

Здесь $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ — биномиальные коэффициенты, а сомнительный на вид «штрих нулевого порядка» означает просто саму функцию. Работает формула лучше всего, когда одна из функций — многочлен: его старшие производные обнуляются, и сумма обрывается после пары слагаемых. Классический пример — $(x^2{e}^x{)}^{(n)}$:

Зачем всё это нужно#

Три ответа. Первый — физика и техника: уравнение колебаний $x^{\prime \prime }+{\omega }^{2}x=0$ записано второй производной; вся динамика — про старшие порядки. Второй — формула Тейлора: коэффициенты разложения функции в ряд — это её производные в точке, делённые на факториалы, так что многочлены-приближения строятся именно из старших производных. Третий — исследование функций: выпуклость и перегибы считаются через $f^{\prime \prime }$ и позже станут стандартным пунктом протокола построения графика.

Считаются старшие производные проще, чем кажется: дифференцируйте последовательно, упрощая после каждого шага. Для $f(x)=x^4$ это выглядит так: $f^{\prime }=4x^3$, $f^{\prime \prime }=12x^2$, $f^{\prime \prime \prime }=24x$, $f^{(4)}=24$, дальше — ноль навсегда. Многочлен четвёртой степени исчерпывает свой запас производных к четвёртому шагу.

Закрепить технику — в тренажёре производных. Следующая тема отвечает на вопрос, который вы уже задавали: почему у всякой гладкой горки найдётся горизонтальная площадка? Это теоремы о среднем.

Старшие производные лучше всего чувствуются на движении. Точка едет по прямой по закону $s(t)=t^3-6t^2+8$ метров. Скорость — первая производная: $v(t)=3t^2-12t$; ускорение — вторая: $a(t)=6t-12$. Числа рассказывают сюжет. В $t=1$ скорость $3-12=-9$ м/с — точка едет назад, и ускорение $-6$ м/с² подгоняет её в обратную сторону. К $t=2$ ускорение обнуляется: переломный момент характера движения. В $t=3$ скорость всё ещё $-9$ м/с, но ускорение стало $+6$ м/с² — движение назад, однако с торможением. И вот $t=4$: скорость $48-48=0$, разворот. Вторая производная предсказала этот разворот за две секунды, хотя первая молчала — скорость оставалась отрицательной вплоть до самого поворота.

1. Дифференцируйте по одному шагу и упрощайте после каждого: $x^4$ даёт цепочку $4x^3$, $12x^2$, $24x$, $24$, дальше ноль навсегда
2. Синус и косинус идут циклом длины четыре: каждый штрих сдвигает фазу на $\pi /2$, остаток от деления номера на четыре указывает ответ
3. Физическая привязка: путь — скорость — ускорение — рывок; слово «разгон» в задаче переводится как «ищите вторую производную»
4. Многочлен в произведении обрывает формулу Лейбница: если степень не выше двух, в сумме выживают только три слагаемых
5. Обозначение $f^{(4)}$ читается «штрих в скобках» — четвёртая производная, а не четвёртая степень; скобки придумали именно для этого различия

Формулу Лейбница стоит один раз проверить руками — доверие появляется сразу. Для произведения $x^2{e}^x$ она даёт скобку $x^2+2nx+n(n-1)$, умноженную на экспоненту. Подставим $n=3$ и точку $x=0$: скобка вырождается в шесть, экспонента в нуле — единица, итого 6. Теперь то же самое подряд, без суммирования. Первая производная: $(2x+x^2)e^x$. Вторая: $(2+4x+x^2)e^x$. Третья: $(6+6x+x^2)e^x$ — и в нуле снова 6. Совпало, причём коэффициенты в промежуточных скобках видны прямо на глаз. Многочлен в произведении снова всё упростил: три дифференцирования вместо страницы выкладок. А там, где производных нужны десятки сразу, начинается формула Тейлора — следующая станция курса.

Один нюанс обозначений напоследок. Лейбницова запись d²y/dx² выглядит как дробь, но это договорённость, а не деление: числитель и знаменатель нельзя сокращать по отдельности. Зато запись удобна в цепочках замен — переменные читаются напрямую, и физики любят её именно за это. Штрихи экономят место, Лейбниц экономит внимание; владейте обеими записями свободно, потому что на старших курсах и в учебниках они приходят парами.