Интерактивный курс
Дифференциальные уравнения
Математика процессов: рост популяций, колебания, распад. Численные методы оживают на симуляторе Эйлера — двигайте ползунок шага и смотрите, как решение «прилипает» к полю направлений.
Навигация по темам и прогресс
ДУ первого порядка
Разделяющиеся переменные, линейные уравнения, Бернулли и полные дифференциалы.
- 1ДУ первого порядка: основы, общее и частное решениеЧто такое дифференциальное уравнение, порядок, общее и частное решение. Задача Коши на живом поле направлений — разберётесь за 25 минут.⏱ 25 минСложность 1/5+60 XP
- 2Уравнения с разделяющимися переменными: как решатьГлавный приём первого семестра дифуров: разложить по разным сторонам и проинтегрировать. Разбор алгоритма, ловушки с потерей решений и живой график.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP
- 3Линейные ДУ первого порядка и уравнение БернуллиПодстановка y = uv, интегрирующий множитель и бернуллиевская замена z = y^(1-n). Разбираем два метода на задачах с числами и графиками.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 4Уравнения в полных дифференциалах: критерий и решениеУравнение M dx + N dy = 0 как производная потенциала. Критерий М-у-равно-N-x, восстановление функции u и типичные ловушки — с пошаговыми разборами.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
ДУ высших порядков и системы
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и системы ДУ.
- 1ДУ высших порядков: типы, понижение порядка, задача КошиСколько констант в общем решении, что такое задача Коши для y'' и как понижать порядок заменой. Три типа уравнений с полными разборами.⏱ 30 минСложность 2/5+60 XP
- 2Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентамиХарактеристическое уравнение и три случая корней: действительные, кратные, комплексные. От экспонент до затухающих колебаний — с симулятором маятника.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 3Линейные неоднородные ДУ: метод неопределённых коэффициентовСтруктура y = y_общ + y_част, подбор правой части и резонанс. Три разбора с числами, таблица форм подбора и квизы на внимательность.⏱ 35 минСложность 4/5+70 XP
- 4Уравнение Эйлера—Коши: подстановка x = e^t и степенные решенияУравнение x²y'' + axy' + by = 0 решается заменой x = e^t: степенные решения, кратные корни с ln x, комплексные корни с sin(ln x). Полный разбор на физической задаче о стенке цилиндра.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
- 5Системы дифференциальных уравнений: собственные значенияХищники и жертвы, две координаты — одно движение. Сводим системы к матрицам, ищем собственные значения и разбираем метод исключения.⏱ 35 минСложность 4/5+70 XP
Краевые задачи и фазовая плоскость
Краевые задачи для линейных ДУ, функция Грина, фазовые траектории и особые точки.
- 1Краевые задачи для дифференциальных уравнений: как решатьДвухточечная краевая задача: когда решение одно, когда их бесконечно много, а когда нет вовсе. Функция Грина, струна и стержень — с примерами и интерактивами.⏱ 32 минСложность 4/5+65 XP
- 2Фазовые траектории и фазовая плоскость: узел, седло, фокус, центрЧто рисует точка состояния на фазовой плоскости, как по собственным числам матрицы различить узел, седло, фокус и центр и зачем маятнику сепаратриса.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
Численные методы и устойчивость
Эйлер, Рунге-Кутта и анализ устойчивости решений.
- 1Метод Эйлера: численное решение ДУ шаг за шагомКогда формулы нет, ломаная Эйлера выручает. Разбираем алгоритм y(k+1) = y(k) + h·f(x(k), y(k)) руками и на живом симуляторе поля направлений.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 2Методы Рунге—Кутты: от RK2 до RK4 — схема, порядок, выбор шагаЧетыре наклона на шаг дают ошибку порядка h⁴: один шаг RK4 по y' = y точнее двадцати шагов Эйлера. Разбираем схему руками, сравниваем методы и учимся выбирать шаг правилом Рунге.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 3Устойчивость решений по Ляпунову: узлы, седла, фокусы и центрыПочему маятник возвращается, а карандаш на острие падает: как знаки собственных значений системы предсказывают поведение решений. Классификация равновесий с интерактивами.⏱ 35 минСложность 4/5+70 XP
Модели и приложения ДУ
От роста популяций до хищник–жертва: дифференциальные уравнения как язык моделей.
Босс-экзамен курса
Соберём вопросы из всех уроков — пройдите на 80%+, чтобы получить бейдж «Покорён Диффуры».