Как решать: пошаговые алгоритмы

Универсальный алгоритм: подстановка, неопределённости 0/0 и ∞/∞, замечательные пределы, эквивалентности и Лопиталь как запасной ход. Разобранный пример, таблица «вид → метод» и типичные ошибки.

Алгоритм распознавания типа: табличный, замена, по частям, дроби, тригонометрия, корни. Таблица «вид интеграла → метод», разбор по частям и разбор площади через сумму Римана.

Рабочий алгоритм дифференцирования: таблица, сумма, произведение и частное, цепочка сложной функции, логарифмическое и неявное дифференцирование. Пример со звёздочкой и типичные ошибки.

Полный план из восьми шагов: ОДЗ, чётность, нули, асимптоты, производные, таблица, график. Разбор кубической параболы с экстремумами и перегибом, таблица «вид задачи → метод».

Гаусс, Крамер или матричный метод: как выбрать и не ошибиться. Алгоритм прямого и обратного хода, разбор системы 2×2, таблица «ситуация → метод» и типичные ловушки.

Дерево распознавания: разделяющиеся, однородные, линейные, Бернулли, полные дифференциалы; характеристическое уравнение для второго порядка. Разбор y' + 2y = e^x интегрирующим множителем.

Универсальный алгоритм: опыт → исходы → подсчёт n и m → выбор подхода → здравая проверка. Три мини-примера: шары из урны, «хотя бы один» через противоположное, дерево полной вероятности и Байеса.

Правило треугольников, разложение по строке и ноль-стратегия для определителей; умножение матриц строка × столбец, транспонирование и обратная через алгебраические дополнения. Разбор det 3×3.

Метод интервалов как главный инструмент: квадратные и дробно-рациональные неравенства, модули, системы. Алгоритм из восьми шагов, разбор дробного примера, таблица «вид → метод» и типичные ошибки.

Пошаговое дерево признаков: необходимое условие, телескоп и геометрический, сравнение, Даламбер, Коши, интегральный, Лейбниц, абсолютная и условная сходимость. Разбор ряда по Даламберу и таблица «вид ряда → признак».

Алгоритм через производную: критические точки, знаки y' слева и справа, максимум/минимум/перегиб, наибольшие и наименьшие значения на отрезке. Разбор кубической параболы с границами и таблица «ситуация → метод».

Порядок действий: алгебраическая форма и сопряжение, деление через сопряжённое, модуль и аргумент с поправкой на четверть, тригонометрическая и показательная формы, формула Муавра и корни n-й степени. Разбор (1+i)⁸.

Классификация по дискриминанту B²−4AC, выбор метода и полный разбор колебания струны: ряд с коэффициентами через интегралы и чек-лист проверки краевых условий.

Метод сечений по шагам: участки, знаки N, Q и M, зависимости Журавского, контроль скачков. Консоль с нагрузкой q и силой F посчитана до последней точки.

Синусоида становится комплексным числом, и цепь переменного тока считается как постоянный: закон Ома, импеданс, полный пример RLC-цепи и векторная диаграмма.

Сведение к повторному интегралу, цилиндрические и сферические координаты, пределы по проекции и два примера с проверкой: объём параболоида 8π, масса полушара 4π.

Процесс Грама–Шмидта на числах, ортогональные проекции и ближайший вектор, наименьшие квадраты как проекция — каждое вычисление доведено до ответа и проверено.

Пошаговый алгоритм однофакторного ANOVA: гипотезы, таблица сумм квадратов, F-критерий 7,2 против 4,26, η² и тест Тьюки — на примере трёх методов обучения.

МНК на числах: нормальные уравнения, b₁ = Sxy/Sxx и b₀ = ȳ − b₁x̄, SSE, SST и R² для пяти точек, прогноз на 10 часов — и где экстраполяция начинает врать.

Метод Фурье для УЧП по шагам: задача Штурма–Лиувилля, таблица собственных функций и полный разбор струны с профилем x(π−x) — от интеграла до ряда с проверкой.

Жёсткие ОДУ: почему явный Эйлер взрывается при h = 0,01, как работает безусловно устойчивый неявный и расчёт для y' = −1000(y − cos t) по шагам.

Сопряжённое выражение, вынос старшей степени и эквивалентности: три приёма, закрывающие практически любой предел с корнем. Разбор трёх примеров до последней строки, ловушки знака и живой график.

Четыре подтипа тригонометрических уравнений и точка на круге вместо таблицы формул: алгоритм распознавания, три полных примера с отбором корней и ошибки, за которые снимают баллы.

Одна формула y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀) закрывает касательную: разбор трёх задач — в заданной точке, параллельно прямой и через внешнюю точку — плюс горизонтальная касательная и проверка на графике.

Порядок исследования ряда: необходимый признак, эталонные ряды, предельное сравнение, Даламбер, радикальный Коши, интегральный признак, Лейбниц для знакопеременных. Три примера до вердикта и таблица «что вижу — что беру».

Параметр как вторая переменная: три метода — аналитическое ветвление, графический подход и разложение на множители. Три примера от вырожденного линейного случая до задачи о положительных корнях.

Пять запретов — знаменатель, корень, логарифм, тангенс, арксинус — и алгоритм их пересечения. Три примера с решением систем неравенств: от дроби с корнем до логарифма с переменным основанием.

Алгоритм логарифмического неравенства: ОДЗ, разворот знака при основании меньше единицы, метод рационализации. Три примера от табличного до рационализации с квадратным трёхчленом.

Двойной интеграл по шагам: задать область неравенствами, свести к повторному, выбрать порядок интегрирования, перейти к полярным координатам для круговых областей. Три примера — от треугольника до смены порядка.

Пределы без паники: подстановка, разложение на множители и старшая степень — три приёма на все типовые случаи. Три примера решены до последней строки.

Сумма, произведение, частное и сложная функция: четыре правила, покрывающие почти любую производную. Три примера с полной выкладкой и живая касательная.

Формула uv − ∫v du, приоритет выбора u и циклические интегралы: три примера от x e^x до e^x sin x, проверка дифференцированием и таблица «кто будет u».

Прямой и обратный ход на системе 3×3 без дробей: расширенная матрица, элементарные операции, обратная подстановка и проверка. Плюс тренажёр Гаусса.

Два рода криволинейных интегралов: масса кривой и работа силового поля. Параметризация, формула Грина и потенциальность — три примера с выкладкой.

Чётность, коэффициенты a₀, aₙ и bₙ, интегрирование по частям и проверка в контрольной точке: строим ряды Фурье для x и |x| и сверяем сумму с рядом Лейбница.

Радиус сходимости через Даламбера, честная проверка концов интервала и поиск суммы почленным дифференцированием: три примера с полной выкладкой.

Определитель системы и четыре определителя — четыре шага до x, y и z: метод Крамера на системе 3×3 с проверкой подстановкой и случаем Δ = 0.