Как исследовать функцию и построить график

Построить график «по точкам» — лотерея: между точками может прятаться разрыв, асимптота или горб экстремума. Полное исследование функции заменяет лотерею планом: восемь шагов, после которых график строится не по угадыванию, а по паспорту функции. Теоретическая база — в уроке исследование функций и построение графиков, а здесь — порядок действий.

План стандартен и потому надёжен: сначала «паспорт» (область определения, симметрии, точки на осях), потом динамика через производные (монотонность, экстремумы, выпуклость, перегибы), и только в конце — бумага и ручка. Пропуск шага почти всегда стоит баллов: чаще всего забывают асимптоты и проверку перегиба.

Как исследовать функцию: полный план по шагам#

1. 1
   ОДЗ: исключённые точки — первые кандидаты в вертикальные асимптоты (знаменатель обнулился, логарифм от неположительного, корень от отрицательного).
2. 2
   Чётность и периодичность: $f(-x)=f(x)$ — симметрия относительно оси $Oy$; $f(-x)=-f(x)$ — относительно начала координат. Половину графика можно не считать.
3. 3
   Пересечения с осями: $y=0$ ищите через нули числителя, $x=0$ — просто значение функции в нуле.
4. 4
   Непрерывность и асимптоты: вертикальные — по точкам разрыва из ОДЗ; наклонные $y=kx+b$ — по пределам $k={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}$ и $b={\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)$.
5. 5
   Первая производная $y^{\prime }$: найдите критические точки (где $y^{\prime }=0$ или не существует) и расставьте знаки $y^{\prime }$ по интервалам — получите монотонность; смена знака даёт экстремум.
6. 6
   Вторая производная $y^{\prime \prime }$: знаки дают выпуклость; точка, где $y^{\prime \prime }=0$ и знак меняется, — перегиб.
7. 7
   Сведите всё в таблицу: интервалы, знаки $y^{\prime }$ и $y^{\prime \prime }$, поведение функции — это каркас ответа.
8. 8
   Постройте график: асимптоты пунктиром, затем экстремумы, перегибы и нули, плавные ветви между опорными точками.

Пример полного исследования функции и графика#

Пройдём план целиком на кубической параболе $y=x^3-3x$ — классике контрольных и зачётов: у неё есть и экстремумы, и перегиб, и нули в красивых точках.

1. 1
   ОДЗ — вся числовая прямая: перед нами многочлен, разрывов нет, вертикальных асимптот не будет.
2. 2
   Нечётность: $f(-x)=-x^3+3x=-f(x)$ — график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать правую половину.
3. 3
   Нули: $x^3-3x=x(x^2-3)=0$, то есть $x=0$ и $x=\pm \sqrt{3}\approx \pm 1.73$; через начало координат проходит и график.
4. 4
   $y^{\prime }=3x^2-3=0$ при $x=\pm 1$. Знаки: плюс на $(-\infty ,-1)$, минус на $(-1,1)$, плюс на $(1,+\infty )$. Максимум в $x=-1$: $f(-1)=2$; минимум в $x=1$: $f(1)=-2$.
5. 5
   $y^{\prime \prime }=6x$: отрицательна при $x<0$ (выпуклость вверх), положительна при $x>0$ (вниз). В $x=0$ знак меняется — перегиб в точке $(0,0)$.
6. 6
   На бесконечности $y\to \pm \infty$: старшая степень $x^3$ не оставляет шансов горизонтальным и наклонным асимптотам.
7. 7
   График: из минус бесконечности вверх к горбу $(-1,2)$, спуск через нуль и перегиб $(0,0)$ до ямы $(1,-2)$, затем подъём через $\sqrt{3}$.

Куда дальше: теория с примерами посложнее — в уроке исследование функций и построение графиков, что такое экстремум и асимптота — в словаре, производная техника — в разборе как решать производные и шпаргалке с таблицей производных.