Исследование функции и построение графика: план

Хороший график — как хороший рецепт: порядок действий не обсуждается, иначе каша. Первокурсники часто начинают рисовать кривую сразу — и получают параболу там, где живёт кубическая гипербола. Разница между догадкой и исследованием — в гарантиях: протокол ниже позволяет нарисовать график, не вычисляя ни одной лишней точки.

Протокол исследования#

1. 1
   Область определения: знаменатели, корни чётной степени, логарифмы
2. 2
   Чётность и нечётность, периодичность: экономят половину работы, если есть
3. 3
   Точки пересечения с осями: $x=0$ и решение $f(x)=0$
4. 4
   Асимптоты: вертикальные, горизонтальные, наклонные
5. 5
   Первая производная: промежутки монотонности и экстремумы
6. 6
   Вторая производная: выпуклость и точки перегиба
7. 7
   Сборка графика: нанести всё найденное и соединить по знакам производных

Пункты 5 и 6 опираются на два правила, выведенных из теоремы Лагранжа. Первое: знак $f^{\prime }$ управляет монотонностью — плюс значит рост, минус значит падение, смена знака в критической точке — экстремум. Второе: знак $f^{\prime \prime }$ управляет выпуклостью — плюс значит чаша, минус значит горка, смена знака — перегиб.

Экстремумы: как их находят#

Критические точки — внутренние точки области определения, где $f^{\prime }=0$ или производная не существует. Дальше — метод интервалов: раскладываем $f^{\prime }$ на множители, расставляем знаки по промежуткам, смотрим переходы. Плюс сменяется минусом — вершина холма, максимум. Минус плюсуется — дно ямы, минимум.

Классика жанра: $f(x)=x^3-3x$. Производная $f^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Корни: $\pm 1$. Знаки: плюс до $-1$, минус между, плюс после. Значит, максимум в точке $x=-1$ со значением $f(-1)=2$, минимум в $x=1$ со значением $f(1)=-2$. Три действия — и весь рельеф описан.

Асимптоты: три жанра убегания#

• Вертикальная $x=a$: хотя бы один односторонний предел равен бесконечности (проверяем нули знаменателя)
• Горизонтальная $y=b$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=b$
• Наклонная $y=kx+b$: $k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$, $b={\lim }_{x\to \infty }(f(x)-kx)$; при $k=0$ получается горизонтальная

Формулы наклонной асимптоты не нужно заучивать как заклинание: это разложение функции на «прямую плюс мелочь». Если $f(x)=kx+b+\epsilon (x)$, где остаток $\epsilon (x)\to 0$, то кривая прилипает к прямой $y=kx+b$ на бесконечности. Дробно-рациональные функции удобно делить уголком — частное даёт асимптоту сразу.

Полный пример: кубическая функция#

1. 1
   Область определения — вся прямая; функция не чётная и не нечётная
2. 2
   Пересечение с осью $Oy$: точка $(0,1)$
3. 3
   $f^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$: критические точки $x=1$ и $x=3$
4. 4
   Знаки $f^{\prime }$: плюс, минус, плюс — максимум $f(1)=5$, минимум $f(3)=1$
5. 5
   $f^{\prime \prime }=6x-12$ меняет знак в $x=2$: перегиб, $f(2)=3$
6. 6
   Асимптот нет — многочлен на бесконечности растёт как $x^3$; график собран из трёх фактов

Второй пример: дробь с асимптотами#

1. 1
   Знаменатель обнуляется при $x=1$: вертикальная асимптота $x=1$
2. 2
   Делим с остатком: $x^2+2x=(x-1)(x+3)+3$
3. 3
   Значит $f(x)=x+3+\frac{3}{x-1}$ — наклонная асимптота $y=x+3$
4. 4
   Коэффициенты по формулам подтверждают: $k=\lim \frac{f(x)}{x}=1$, $b=\lim (f(x)-x)=3$
5. 5
   Производная $f^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$: минимум при $x=3$, максимум при $x=-1$

Знаки производной: $f^{\prime }>0$ при $x<-1$, затем минус до $x=1$ и после (знаменатель знака не меняет), снова плюс после $x=3$. Итого: холм у $x=-1$ ($f(-1)=-0.5$) и яма у $x=3$ ($f(3)=7.5$). Обратите внимание, как асимптота $y=x+3$ протягивает каркас графика, а остаток $\frac{3}{x-1}$ рисует отклонения от него.

Знаки производной между критическими точками удобно расставлять методом интервалов — тем же, что решает неравенства. Пройдите пошаговое построение картины знаков на числовой прямой.

Протокол исследования — вершина дифференциального исчисления: всё, что выучено о производных, работает на одну картинку. Финальная тема раздела — формула Тейлора, которая приближает функции многочленами с контролируемой точностью.

Мини-исследование в пять действий — на функции $f(x)=x+\frac{4}{x}$, которая пугает на контрольных незаслуженно. Область: $x\ne 0$, значит вертикальная асимптота сидит в нуле. Производная: $f^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$; нули при $x^2=4$, то есть $x=\pm 2$. Знаки: при $|x|<2$ дробь $\frac{4}{x^2}$ перевешивает единицу — функция убывает, вне этого промежутка растёт (монотонность по знаку производной обоснована в теоремах о среднем). Итог: минимум $f(2)=2+2=4$ и максимум $f(-2)=-2-2=-4$. Симметрия не случайность: функция нечётная, вершины зеркальны относительно начала координат. Наклонная асимптота $y=x$ — слагаемое $\frac{4}{x}$ умирает на бесконечности, и обе ветви графика огибают её, проходя ровно через посчитанные вершины. Четыре вычисления — и график собран без таблицы значений.

1. Порядок «область — производные — асимптоты — точки» держит решение от хаоса: каждый шаг отвечает на один вопрос о графике
2. Критическая точка — не приговор: смену знака $f^{\prime }$ проверьте раньше, чем рисовать вершину
3. Вторая производная экономит время: $f^{\prime \prime }>0$ в кандидате — яма, $f^{\prime \prime }<0$ — холм, ноль — возврат к знакам первой производной
4. Асимптоты рисуйте первыми: вертикальные из нулей знаменателя, наклонные из деления с остатком; каркас подскажет форму ветвей до всякой таблицы значений
5. Финальный чек: график обязан пройти через посчитанные значения — подставьте их перед сдачей работы, это минута, которая спасает оценки

Вторая производная подтверждает вершины мгновенно. Для функции $f(x)=x+\frac{4}{x}$ она равна $\frac{8}{x^3}$. В точке $2$ выходит $\frac{8}{8}=1>0$ — чаша, значит, минимум, ровно как нашла смена знака. В точке $-2$ выходит $\frac{8}{-8}=-1<0$ — купол, максимум. Две подстановки вместо двух таблиц знаков — вот зачем второй признак держат в протоколе. Но помните его границу применимости: он молчит там, где вторая производная обнуляется, и бессилен в точках, где производной нет вовсе. Смена знака первой производной — универсальный судья, второй признак — быстрый помощник, который работает, пока работает. В примере с дробью он срабатывает оба раза — но доверяют ему не потому, что он есть, а потому, что проверили обе вершины. И деталь для аккуратных: у нечётной функции вторая производная тоже нечётна — минус единица в точке минус два подтверждается тем же числом со знаком минус, что и в плюсе.