Формула Тейлора: разложения и приближения

Наберите на калькуляторе $\cos 0.7$ — ответ придёт мгновенно. Но внутри нет ни единого тригонометрического круга: процессор суммирует несколько членов многочлена. Мост между «сложными» функциями и многочленами, которые умеет считать даже утюг, построил Брук Тейлор в 1715 году. Формула его имени — самая практичная теорема курса: она и пределы в одну строку решает, и физику малых колебаний держит, и за погрешность отвечает.

Идея: подогнать многочлен под функцию#

Многочлен — идеальный партнёр: считается, дифференцируется, интегрируется без усилий. Хотим возле точки $a$ заменить функцию $f$ многочленом, который ведёт себя как оригинал. Наилучшее совпадение — равенство значения и первых $n$ производных в точке $a$: та же высота, тот же наклон, та же кривизна и так далее. Подгонка даёт коэффициенты $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ — и получается локальная формула Тейлора:

Читаем по символам. $f^{(k)}(a)$ — производная порядка $k$ в точке $a$: вся информация о функции спрессована в её поведение возле $a$. Деление на $k!$ компенсирует накопление степеней при дифференцировании. Множитель $(x-a{)}^k$ показывает: чем дальше от точки $a$, тем грубее приближение — формула локальная. Остаток $o((x-a{)}^n)$ (форма Пеано) означает: ошибка меньше любого множителя вида $C(x-a{)}^n$ при $x\to a$. Частный случай $a=0$ зовут формулой Маклорена — он же рабочий в 90% задач.

Разложения Маклорена: пять штук на всю жизнь#

Откуда берутся коэффициенты? Для экспоненты все производные равны $e^x$, в нуле — единица, поэтому коэффициенты $\frac{1}{k!}$. Для синуса производные циклически идут $\sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x$ — чётные порядки дают нули, нечётные чередуются знаками. Биномиальный ряд при $\alpha =\frac{1}{2}$ даёт приближение корня: $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}$.

Остаточный член: точность по заказу#

Для приближённых вычислений нужен контроль ошибки — форма Лагранжа:

Смысл: ошибка — это как бы следующий, отброшенный член, вычисленный в какой-то промежуточной точке. Мы не знаем $\xi$, но знаем оценку модуля производной — и получаем гарантию. Для $e^x$ с $a=0$, $x=1$ все производные не превосходят $e$, поэтому $R_n\le \frac{e}{(n+1)!}$. Частичные суммы идут $2$; $2.5$; $2.6667$; $2.70833$; $2.71667$ — и при $n=5$ ошибка не больше $\frac{e}{720}\approx 0.0038$, а реальная — около $0.0016$: приближение $e\approx 2.71667$.

Числовые примеры, которые приятно считать в уме. Синус: $\sin 0.1\approx 0.1-\frac{0.001}{6}=0.0998333$, ошибка не превышает следующий член $\frac{x^5}{120}=8.3\cdot 10^{-8}$ — шесть верных знаков. Корень: $\sqrt{1.02}\approx 1+0.01-\frac{0.0004}{8}=1.00995$ — и это верно до пятого знака (точное значение $1.0099505\dots$). Таблицы логарифмов и навигационные вычисления веками строились именно так.

Пределы одной строкой#

Где Тейлор обгоняет Лопиталя — в неопределённостях с разностями. Разложим до нужного порядка, сократим, прочитаем ответ:

Та же механика объясняет первый замечательный предел и его следствия: $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ немедленно даёт $\frac{\sin x}{x}\to 1$ и $\frac{\sin x-x}{x^3}\to -\frac{1}{6}$. Связь с бесконечными суммами — вопрос уже теории рядов: что такое ряд — отдельная статья второго семестра, а здесь мы работаем с конечными приближениями.

Формула Тейлора «оживает», когда степень полинома растёт прямо на глазах: кривая-приближение прижимается к функции всё плотнее и дольше не отлипает от неё по мере удаления от центра.

Держите под рукой таблицу производных — разложения строятся из неё, а потренировать пределы через Тейлора можно в тренажёре пределов. На этом дифференциальное исчисление собрано целиком: дальше курс переходит к обратной задаче — интегралам.

Ещё один расчёт в уме — механика закрепляется на пальцах. Нужен $\cos 0.2$ радиан. Разложение: $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\dots$. Берём два члена: $1-\frac{0.04}{2}=0.98$. Отброшенный член оценивает ошибку: $\frac{0.2^4}{24}=\frac{0.0016}{24}\approx 6.7\cdot 10^{-5}$ — четыре верных знака после запятой. Калькулятор подтверждает: $\cos 0.2=0.98007$. Следите за ценой вопроса: один член даёт единицу с ошибкой $0.02$, два члена — ошибку в тысячи раз меньше. Каждый следующий член сжимает погрешность в десятки раз, потому что степени $0.2$ тают: $0.2^2$, потом $0.2^4$, потом $0.2^6$. На этом принципе стоят все приближённые вычисления — от логарифмических линеек до процентов в банке; родственная механика разборов пределов живёт в замечательных пределах.

1. Пять разложений — экспонента, синус, косинус, $\ln (1+x)$ и $(1+x{)}^{\alpha }$ — выучите как таблицу умножения: они закрывают девять десятых экзаменационных пределов
2. Знаки чередуются у синуса и косинуса, у экспоненты все плюсы, у логарифма чередование идёт вместе с делителем, равным номеру степени
3. Факториал в знаменателе — метка производной: коэффициент $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ восстанавливается из значения n-й производной в нуле
4. Остаток Лагранжа отвечает на вопрос «насколько вру?» до вычислений: оценивайте его первым действием, а не после ответа
5. В пределах порядок разложения подстраивается под знаменатель: какая степень внизу — такой минимум вверху

Логарифм считается той же рулеткой. Разложение $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$ при $x=0.1$ даёт $0.1-0.005+0.000333=0.095333$. Точное значение $\ln (1.1)=0.0953102$, ошибка $2.3\cdot 10^{-5}$ — и она предсказана отброшенным членом: следующий по порядку $\frac{x^4}{4}=2.5\cdot 10^{-5}$. Добавьте его — расхождение упадёт до $2\cdot 10^{-6}$, потому что каждый член меньше предыдущего в десять раз. Заметьте границу: ряд для логарифма сходится лишь при $|x|<1$, так что для $\ln 2.1$ разложение вокруг нуля уже не годится — вычислитель вынесет множитель или сменит точку разложения. У любого инструмента есть область работы, и уметь её назвать — часть владения инструментом.

Разложения удобно держать в голове по правилу «степень на факториал». Экспонента делит единицу на факториал номера степени. Синус берёт только нечётные степени с чередованием знаков, косинус — только чётные, оба делят на факториал. Логарифм делит на номер степени без факториала — оттого его коэффициенты убывают медленно. Биномиальный ряд при целом показателе выдаёт треугольник Паскаля: при показателе три это один, три, три, один. Проверьте на кубе: коэффициент при третьей степени у экспоненты — одна шестая, у синуса — минус одна шестая, у логарифма — одна третья. Три строчки наизусть закрывают половину листа с формулами, а откуда они берутся, вы уже знаете — из формулы Тейлора с её производными и факториалами.