Предел последовательности: определение и примеры

Автобус тормозит у остановки: с каждым мгновением вы всё ближе, но в какой-то момент «ближе» перестаёт меняться. Числовые последовательности устроены так же. Члены меняются с номером $n$, но рано или поздно успокаиваются около одного числа — математики называют его пределом. На этом понятии держится весь матанализ: и производная, и интеграл, и ряды определяются через предел. Так что договоримся на берегу, что значит «стремится», — на строгом языке и с тренировкой техники.

Определение: эпсилон и номер N#

Определение через «стремится» звучит красиво, но на зачёте его сдают по буквам. Число $a$ называется пределом последовательности $\{a_n\}$, если для любого положительного числа $\epsilon$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены попадают в интервал $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$.

Разберём по словам. $\epsilon$ — допуск: насколько близко к $a$ мы требуем оказаться. $N$ — ответ на этот допуск: номер, после которого допуск гарантирован для всех членов сразу, а не для одного. Заметьте порядок игры: сначала противник называет любое $\epsilon$, хоть $0.000001$, потом вы предъявляете $N$. У вас всегда есть ответ? Предел равен $a$.

Сыграем. Для $a_n=\frac{n}{n+1}$ заявим предел $a=1$. При $\epsilon =0.1$ требуется $|a_n-1|=\frac{1}{n+1}<0.1$, то есть $n>9$ — берём $N=10$. Ужесточили требование до $\epsilon =0.001$? Ответ тоже есть: $N=1000$. Какой бы крошечный допуск ни назвали, номер найдётся. Значит, предел действительно единица.

Если предел существует и конечен, последовательность называется сходящейся. Если предела нет или он бесконечен — расходящейся. Сценариев поведения немного, и каждый стоит увидеть хотя бы раз: полный разбор ограниченности и монотонности есть в уроке о числовых последовательностях.

Единственность и арифметика пределов#

Предел не может быть двумя числами сразу. Если бы последовательность прижималась и к $a$, и к $b\ne a$, то с некоторого номера она жила бы одновременно в двух непересекающихся интервалах — противоречие. Единственность — первая теорема любого курса, от задачника Демидовича до конспекта вашей кафедры.

• $\lim (a_n\pm b_n)=\lim a_n\pm \lim b_n$ — предел суммы равен сумме пределов
• $\lim (a_n\cdot b_n)=\lim a_n\cdot \lim b_n$ — то же с произведением
• $\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{\lim b_n}$, если $\lim b_n\ne 0$
• константу выносим за знак предела: $\lim (c\cdot a_n)=c\cdot \lim a_n$

Правила честные, но с оговоркой: все пределы в правой части должны существовать и быть конечными. Пример на арифметику: $a_n=\frac{1}{n}\to 0$, $b_n=\frac{n}{n+1}\to 1$, значит $a_n+b_n\to 1$, $a_n\cdot b_n\to 0$, а $\frac{a_n}{b_n}\to \frac{0}{1}=0$. Одна вычисленная пара — целый букет ответов.

Самая коварная ситуация — частное двух нулей. Возьмём $a_n=\frac{1}{n}$, $b_n=\frac{1}{n^2}$: обе стремятся к нулю, но $\frac{a_n}{b_n}=n\to \infty$, а $\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{n}\to 0$. Если же $a_n=b_n=\frac{1}{n}$, частное равно единице. Один значок $\frac{0}{0}$ — три разных ответа. Вывод: неопределённость требует анализа, а не подстановки.

Как раскрывают неопределённости#

Бесконечность на бесконечность: смотрим на старшую степень

Многочлены на бесконечности ведёт старшая степень. Дробь $\frac{3n^2+5n}{n^2+1}$ — это «три с лишним»: и числитель, и знаменатель растут как $n^2$, остальное — мелкие поправки. Техника: разделить числитель и знаменатель на старшую степень.

1. 1
   Делим числитель и знаменатель на $n^2$: $\frac{3+5/n}{1+1/n^2}$
2. 2
   Слагаемые $5/n$ и $1/n^2$ — бесконечно малые, уходят к нулю
3. 3
   Остаётся $\frac{3+0}{1+0}=3$

Деление законно: мы делим числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же положительное число $n^2$, значение дроби не меняется ни при каком $n$. Дальше работают степени: члены вида $\frac{1}{n^k}$ любого порядка убывают к нулю.

Бесконечность минус бесконечность: умножаем на сопряжённое

Разность $\sqrt{n^2+n}-n$ выглядит как «бесконечность минус бесконечность» — сигнал, что подставлять нельзя. Классический приём — домножить на сопряжённое выражение.

Кстати: вынести $n$ из-под корня можно без опаски, потому что $n>0$; в общем случае $\sqrt{n^2}=|n|$. Мелочь, на которой сыпется половина контрольных. И вторая привычка, которую стоит завести: бесконечно большие и бесконечно малые — две стороны одной монеты. Если $a_n\to \infty$ и $a_n\ne 0$, то $\frac{1}{a_n}\to 0$, и наоборот. Проверьте на $a_n=n$: переворот стрелки превращает картину в зеркальную.

Зажатая последовательность: два милиционера#

Когда предел не считается напрямую, дробь иногда удаётся зажать между двумя простыми. Теорема о зажатой последовательности (в народе — «о двух милиционерах»): если $c_n\le a_n\le b_n$ начиная с некоторого номера и оба «милиционера» идут к одному числу $L$, то и $a_n$ идёт к $L$ — деваться ей некуда.

Классика жанра: $a_n=\frac{n!}{n^n}$. Распишем: $\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \dots \cdot \frac{n}{n}$. Каждый множитель не больше единицы, значит вся дробь не превышает $\frac{1}{n}$. Итого $0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}$, оба края бегут к нулю — и дробь бежит с ними.

Если последовательность ещё и монотонна, в дело вступает теорема Вейерштрасса: монотонная и ограниченная последовательность сходится. Эти два факта — основной арсенал первой главы анализа; без них не доказать ни существование числа $e$, ни сходимость метода бисекции.

Формулы из таблицы — опора для задач. Полный справочник с односторонними пределами и приёмами для функций лежит в шпаргалке по формулам пределов, а сам термин подробно разобран в словаре.

Иерархия роста: экспонента сильнее степени

Степени $n^k$ при любом $k$ выигрывают у дробных корней, но сами проигрывают экспонентам $a^n$ при $a>1$. Отсюда ещё один типовой предел, который стоит узнавать в лицо:

1. 1
   Делим числитель и знаменатель на самую быструю экспоненту $3^n$
2. 2
   Получаем $\frac{(2/3{)}^n+1}{2\cdot (2/3{)}^n+3}$ — потому что $2^{n+1}/3^n=2\cdot (2/3{)}^n$, а $3^{n+1}/3^n=3$
3. 3
   Основание $2/3<1$, значит $(2/3{)}^n\to 0$ — работает тот же приём, что и для $1/n^k$
4. 4
   Остаётся $\frac{0+1}{0+3}=\frac{1}{3}$

Мораль: в бою экспонент побеждает самая быстрая. Делили на $3^n$, а не на $2^n$ — иначе одна экспонента выжила бы и предел не посчитался. Тот же трёхшаговый рецепт работает и для $\frac{n!}{n^n}$, и для $\frac{3^n}{n!}$ из таблицы выше.

Тренировка вычислений — в тренажёре пределов: задачи идут от подстановок до честных неопределённостей. А дальше то же понятие переезжает на функции — с эпсилон-дельта языком и живыми графиками, о которых следующий урок.