Интерактивный курс
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Матрицы, определители, векторы и геометрия на плоскости и в пространстве. Визуализируем матрицы как трансформации: двигайте элементы и смотрите, как квадрат сжимается, вращается и переворачивается.
Навигация по темам и прогресс
Матрицы и определители
Язык, на котором говорит вся прикладная математика и машинное обучение.
- 1Матрицы и операции: как складывать и умножать матрицыЧто такое матрица, как складывать её с матрицей, умножать на число и на другую матрицу. Наглядная геометрия, живые примеры и разбор ошибок первокурсника — за 25 минут.⏱ 25 минСложность 1/5+60 XP
- 2Определитель матрицы: формулы, свойства и примерыОдно число рассказывает о матрице всё: сжимает ли она плоскость и обратима ли. Считаем определители 2×2 и 3×3, разбираем свойства и живую геометрию.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 3Обратная матрица: как найти и проверить, два методаДелить матрицы нельзя, зато можно умножать на обратную. Алгоритм через алгебраические дополнения и метод Гаусса — с проверкой и разбором типичных ошибок.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 4Ранг матрицы: определение, миноры и метод ГауссаЧто делать, когда определитель равен нулю: ранг показывает, сколько независимых строк осталось в матрице. Окаймляющие миноры, ступенчатый вид и связь с СЛАУ.⏱ 25 минСложность 2/5+60 XP
Системы линейных уравнений
Гаусс, Крамер и поиск точки пересечения плоскостей.
- 1СЛАУ и метод Гаусса: пошаговый алгоритм с примерамиСовместность, единственность и бесконечность решений системы линейных уравнений. Прямой и обратный ход метода Гаусса с полным разбором и живым графиком.⏱ 35 минСложность 2/5+70 XP
- 2Правило Крамера и матричный метод: формулы и примерыКак решить квадратную систему одним делением определителей и умножением на обратную матрицу. Когда методы работают, а когда спасает только Гаусс.⏱ 25 минСложность 2/5+60 XP
- 3Однородные СЛАУ: фундаментальная система решений (ФСР)Когда однородная система имеет ненулевые решения, как построить фундаментальную систему решений и почему решения образуют линейное пространство.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
Векторы и аналитическая геометрия
От стрелок на плоскости до прямых, плоскостей и кривых второго порядка.
- 1Векторы и линейные операции: сложение, коллинеарность, базисЧто такое вектор, как складывать стрелки по правилу треугольника, зачем нужны координаты и как проверить коллинеарность. Интерактивный тренажёр внутри.⏱ 25 минСложность 1/5+60 XP
- 2Скалярное произведение векторов: формула, угол, примерыКак перемножить два вектора и получить число: координатная и геометрическая формы, угол между векторами, перпендикулярность и физический смысл.⏱ 25 минСложность 2/5+60 XP
- 3Векторное и смешанное произведение векторов: формулы, объёмКак из двух векторов получить третий, перпендикулярный обоим, и как считать объём параллелепипеда одним определителем. С примерами и разборами.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
- 4Прямая на плоскости: уравнения, векторы нормали, расстояниеЧетыре формы уравнения прямой, нормальный и направляющий векторы, взаимное расположение двух прямых и расстояние от точки до прямой — с примерами.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 5Прямая и плоскость в пространстве: уравнения, углы, расстоянияКак задать плоскость тремя точками, почему у прямой бывают «нулевые» знаменатели и как за две минуты посчитать расстояние от точки до плоскости. С интерактивами и разбором типичных ловушек.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 6Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гиперболаКанонические уравнения эллипса, параболы и гиперболы: фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты — с живыми графиками, примерами и разбором типичных ошибок.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
Алгебраические структуры
Линейные пространства, собственные векторы и квадратичные формы.
- 1Линейные пространства: аксиомы, базис и размерность простыми словамиПочему многочлены, матрицы и решения систем живут по одним законам, что проверяют на зачёте словом «аксиоматика» и как найти базис любого пространства. Разбор с интерактивами.⏱ 30 минСложность 2/5+65 XP
- 2Евклидовы пространства: скалярное произведение и Грам–ШмидтДлины, углы и расстояния в ℝⁿ: неравенство Коши–Буняковского, алгоритм Грама–Шмидта на полном примере, ортогональное дополнение и мостик к методу наименьших квадратов.⏱ 32 минСложность 3/5+66 XP
- 3Матрица перехода между базисами: как найти, связь координат, проверкаОдин вектор — два набора координат: строим матрицу перехода, пересчитываем координаты в обе стороны и проверяем ответ подстановкой. С примерами и интерактивами.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 4Ортогональные проекции и QR-разложение: Грам—Шмидт на пальцахБлижайшая точка подпространства, процесс Грама—Шмидта с полным примером и разложение A = QR: зачем оно нужно и почему численщики его обожают.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 5МНК и нормальные уравнения: линейная алгебра подгонки прямойТри точки, прямой не хватает: метод наименьших квадратов через проекцию, вывод нормальных уравнений AᵀAx = Aᵀb и расчёт подгонки по точкам до дробей.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 6Собственные значения и собственные векторы матрицы: как их найтиКакие направления матрица не сворачивает, как решить характеристическое уравнение и при чём тут PageRank и резонанс мостов. Полный разбор с примерами $2\times2$ и $3\times3$.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 7Квадратичные формы: канонический вид, критерий Сильвестра, знакКак по числам матрицы определить, чаша перед вами или седло, что делает метод Лагранжа и почему критерий Сильвестра работает. С пошаговым примером и интерактивами.⏱ 35 минСложность 3/5+70 XP
- 8Жорданова форма: когда диагонализация не работаетСобственных векторов меньше, чем обещала кратность? Вместо диагонализации — жордановы клетки и цепочки: степени матрицы, экспонента и полный пример 3×3.⏱ 40 минСложность 3/5+75 XP
Оптимизация
Линейное программирование: графический метод, симплекс и двойственность.
Босс-экзамен курса
Соберём вопросы из всех уроков — пройдите на 80%+, чтобы получить бейдж «Покорён Линал».