Векторы и линейные операции: сложение, коллинеарность, базис

Метеоролог пишет: «ветер 5 метров в секунду северо-западный». Два числа — скорость и направление — слились в один объект. Это и есть вектор: у него есть величина и направление, и ни то, ни другое нельзя выбросить. Векторы описывают смещения, силы, скорости, а в линале становятся универсальным языком: любая матрица действует на векторы, любое пространство состоит из векторов. Начнём с самых азов — и потрогаем стрелки руками в тренажёре чуть позже.

Что такое вектор: от стрелки к координатам#

Геометрически вектор — направленный отрезок с началом и концом. Стрелка из точки $A$ в точку $B$ обозначается $\overrightarrow{AB}$. Два вектора равны, если равны их длины и направления сонаправлены: параллельны и смотрят в одну сторону. Отсюда важное соглашение: вектор можно переносить параллельно самому себе куда угодно — начало не считается частью вектора. Такие векторы называют свободными.

Свобода позволяет всем векторам «жить» с началом в одной точке — например, в нуле координат. Тогда вектор полностью описывается координатами конца. Если $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$, то вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты:

Пример: $A(1,-2,3)$, $B(4,2,-1)$. Тогда $\overrightarrow{AB}=(3,4,-4)$. Длина вектора — расстояние между началом и концом — считается по теореме Пифагора, применённой дважды:

Для нашего примера: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}$. Красивого ответа не ждите — длины редко бывают целыми, и это нормально. Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет длину ноль и никакого направления: он нужен, чтобы у сложения был нейтральный элемент.

Линейные операции: сложение, вычитание, умножение на число#

Сложить векторы можно двумя способами. Правило треугольника: приложить начало второго вектора к концу первого — сумма идёт от начала первого к концу второго. Правило параллелограмма: приложить оба вектора к одной точке и провести диагональ параллелограмма, построенного на них. Результат один и тот же — сложение коммутативно.

Вычитание — сложение с противоположным: $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ — тот же по длине вектор, но смотрящий в обратную сторону. В координатах всё вычитается покомпонентно. Умножение на число $\lambda$ растягивает вектор в $|\lambda |$ раз и, если $\lambda <0$, разворачивает его назад.

• $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ — коммутативность
• $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ — ассоциативность
• $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$, $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
• $\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$ и $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$

Этот список свойств вы уже видили — он совпадает со свойствами сложения матриц и даже чисел. Совпадение не случайно: матрица-столбец и есть вектор в координатной записи. Линейная алгебра изучает именно такие структуры, где «складывать и умножать на число» можно по одинаковым правилам.

Коллинеарность: пропорциональные стрелки

Векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Критерий: $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ для некоторого числа $\lambda$. В координатах это пропорциональность всех компонент.

Проверьте: векторы $(2,-1,3)$ и $(4,-2,6)$ коллинеарны — вторые координаты вдвое больше первых при всех трёх компонентах, $\lambda =2$. А вот $(2,-1,3)$ и $(4,-2,7)$ уже нет: отношение $3:7\ne 1.5$. Осторожно с нулевыми координатами: если $a_1=0$, делить нельзя — переходите к уравнению $b_1=\lambda a_1$ и проверяйте по частям.

Базис: из чего собран любой вектор#

На плоскости выделены два орт-вектора: $\vec{i}=(1,0)$ вдоль оси $x$ и $\vec{j}=(0,1)$ вдоль оси $y$. В пространстве к ним добавляется $\vec{k}=(0,0,1)$. Любой вектор разлагается по этому базису, и координаты — это коэффициенты разложения:

Например, $(3,4,-4)=3\vec{i}+4\vec{j}-4\vec{k}$. Ключевое требование к базису — векторы должны быть независимы: два неколлинеарных на плоскости, три некомпланарных в пространстве (не лежащих в одной плоскости). Компланарность трёх векторов проверяется смешанным произведением — этому посвящён урок про векторное и смешанное произведения.

Зачем базис? Он превращает геометрию в алгебру: вместо «повернуть стрелку» мы пишем числа, вместо «вычесть стрелки» — вычитаем координаты. Компьютер умеет только с числами, поэтому любая графика, физика и машинное обучение работают в координатах. А скалярное произведение добавит к этому словарю углы и длины.

Словарь готов: вектор, длина, коллинеарность, базис, линейные операции. Но у векторов есть операции богаче сложения — они измеряют углы, площади и объёмы. Первая — скалярное произведение, способ перемножить две стрелки и получить число с геометрическим смыслом.

Доведём операции до рефлекса на конкретных числах. Пусть $A(1,2)$ и $B(4,6)$ — концы отрезка. Вектор $\overrightarrow{AB}$: из конца вычитаем начало, $(4-1,6-2)=(3,4)$. Длина по теореме Пифагора $\sqrt{9+16}=5$ — египетский треугольник в координатах. Умножим вектор на два: $(6,8)$ — стрелка удлинилась вдвое, направление сохранилось. На минус единицу: $(-3,-4)$ — разворот на сто восемьдесят градусов. Отложим $2\overrightarrow{AB}$ из точки $A$: попадём в $C(7,10)$ — к координатам начала прибавились координаты вектора. Проверка коллинеарности $(6,8)$ и $(3,4)$: пропорция $6/3=8/4=2$ выполняется по всем координатам, векторы лежат на одной прямой. Мораль: три операции — сложение, умножение на число, длина — решают задачи про перемещения без рисунка и транспортира. А вектор живёт не в точке: одинаковые стрелки в разных местах считаются одним и тем же свободным вектором.

Как запомнить

1. Конец минус начало: порядок вычитания важнее всего остального в задаче.
2. Длина — корень из суммы квадратов координат; связка три-четыре-пять всплывает чаще других.
3. Отрицательный множитель разворачивает вектор, положительный — только растягивает или сжимает.
4. Сложение коммутативно и ассоциативно: порядок стрелок не влияет на сумму, спасает только аккуратность.
5. Правило треугольника: хвост второго к голове первого; контур замкнулся — сумма нулевая.
6. Коллинеарность — пропорциональность всех координат сразу; полный словарь ждёт на странице вектор.