Скалярное произведение векторов: формула, угол, примеры

Два вектора можно сложить — выйдет вектор. А можно перемножить так, что выйдет число: оно скажет, насколько стрелки смотрят в одну сторону, и позволит измерить угол между ними без транспортира. Это скалярное произведение — самая употребляемая операция прикладной математики: работа силы в физике, поиск углов в графике, similarity в рекомендательных системах — везде она.

Две формы: геометрическая и координатная#

Геометрически скалярное произведение определяется через длины и угол $\phi$ между векторами ($0\le \phi \le 180^{\circ }$):

А в координатах формула неожиданно проста — умножаем покомпонентно и складываем:

Обе формы дают одно число — их равносильность доказывается разложением векторов по базису. Школьная версия этой связи — теорема косинусов: произведение хранит косинус угла. Практический вывод: угол ищется без чертежа. Взяв координаты, считаете произведение, а косинус появляется из связи двух форм:

Пример: $\vec{a}=(1,2,2)$, $\vec{b}=(2,1,-2)$. Произведение: $1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot (-2)=2+2-4=0$. Ноль — векторы перпендикулярны, хоть вы их никогда не рисовали. Так проверка на прямой угол сводится к арифметике.

Свойства: пять правил, которые всё упрощают#

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ — коммутативность
• $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ — дистрибутивность
• $(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$ — число выносится
• $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$ — произведение вектора на себя даёт квадрат длины
• $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ (для ненулевых векторов)

Угол между векторами#

Приравняв обе формы, получаем формулу угла:

Знак произведения — быстрый диагноз угла: плюс — угол острый, ноль — прямой, минус — тупой. Для многих задач (классификация данных, проверка освещённости в графике) точный угол не нужен — достаточно знака.

Проекция и физический смысл#

Скалярная проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ — это «тень» $\vec{a}$ на ось $\vec{b}$:

Классика физики: работа силы. Тела сдвинули на вектор перемещения $\vec{s}$ под действием силы $\vec{F}$ — работа равна $A=\vec{F}\cdot \vec{s}$. Перпендикулярная сила работы не совершает: косинус девяноста градусов зануляет произведение. Сила тяжести при движении по горизонтальному полу не делает работы — теперь вы умеете это доказывать одной строкой.

Ещё одно применение — ортогонализация и метрики: скалярное произведение задаёт длину и угол, то есть превращает набор координат в «пространство с геометрией». Именно на нём построен урок про прямую на плоскости — нормальный вектор и условие перпендикулярности прямой и вектора записываются через него мгновенно.

Скалярное произведение замкнуло цикл: векторы теперь умеют не только складываться, но и измерять углы. Следующая ступень — произведения, которые рождают новые векторы и объёмы: векторное и смешанное произведения — там появится площадь треугольника и объём параллелепипеда.

Считаем угол между векторами $\vec{a}=(1,\sqrt{3})$ и $\vec{b}=(\sqrt{3},1)$ в два действия. Координатное произведение: $1\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}$. Длины: $|\vec{a}|=\sqrt{1+3}=2$ и $|\vec{b}|=2$ — редкая симметрия, которая делает пример честным. Делим: $\cos \phi =2\sqrt{3}/4=\sqrt{3}/2$, табличное значение — угол тридцать градусов. Ни рисунка, ни транспортира: одна формула съела всю геометрию. Почему геометрическая и координатная формы вообще равносильны? Для базисных орт совпадение заложено в определении, дальше работает линейность: произвольный вектор — комбинация орт, и обе формы раскладываются одинаково. Заодно вытащим длину: $\vec{a}\cdot \vec{a}=1+3=4$, корень — снова два. Физика рядом: сила $(2,0)$ на перемещение $(3,4)$ даёт работу шесть — вертикальное перемещение не получает ничего, потому что горизонтальная сила не тянет вверх. Проверьте себя на обратной задаче: векторы $(3,0)$ и $(0,5)$ дают произведение ноль — угол девяносто градусов, считать почти не пришлось. Если векторы заданы длинами и углом — идите от геометрической формы; если координатами — от координатной; ответ обязан совпасть.

Как запомнить

1. Координатная форма: сумма произведений одинаковых позиций — первая с первой, вторая со второй.
2. Длина вектора: корень из произведения вектора на самого себя.
3. Косинус угла: произведение, делённое на произведение длин; результат обязан лежать от минус единицы до единицы, иначе ищите ошибку.
4. Ноль — перпендикулярность, минус — тупой угол: знак работает как экспресс-диагностика.
5. Работа силы — образец: сила на перемещение, всё через скалярное произведение.
6. Освежить словарь — на странице вектор; продолжение арсенала — в уроке про векторное и смешанное произведения.

Навык окупается за пределами контрольной. Косинусная близость поисковиков и рекомендательных систем — то же скалярное произведение, только векторы описывают тексты и вкусы пользователей. Нейросети перемножают векторы-эмбеддинги миллиардами раз в секунду: механизм внимания в трансформерах — это скалярные произведения запросов и ключей. В школьной физике работа силы — классика задач на проекции. Формула «сумма произведений координат» — не экзотика для контрольной, а один из самых часто вычисляемых объектов на планете. Осталось довести её до автоматизма: возьмите пару случайных векторов, найдите угол, проверьте перпендикулярность — и переходите к векторному произведению, где у произведения наконец появится направление.

Экспресс-тренажёр для самопроверки. Векторы $(2,-1,2)$ и $(1,2,2)$: произведение $2-2+4=4$, длины три и три, косинус четыре девятых — угол около шестидесяти трёх градусов, острый. Векторы $(5,12,0)$ и $(3,-4,0)$: произведение $15-48=-33$, минус — угол тупой, хотя длины красавицы тринадцать и пять. Векторы $(2,3,-1)$ и $(6,-4,0)$: произведение $12-12+0=0$ — перпендикулярны, угол ровно девяносто, и никто не рисовал картинку. Три пары — три типа угла; прогоните их без калькулятора, и формула осядет в пальцах. Заодно заметьте: косинус четыре девятых — не табличное значение, и это нормально; большинство углов в жизни нетабличные, достаточно классификации по знаку. Точный угол при желании посчитает arccos в любом приложении, но экзамен за это баллов не даст.