Матрицы и операции: как складывать и умножать матрицы

Расписание на неделю, таблица умножения, пиксели на экране телефона, веса внутри нейросети — всё это таблицы чисел. Матрица — математический объект, который описывает такую таблицу целиком, одной буквой. Ценность не в красивой записи: с матрицами можно считать — складывать, умножать, обращать, как с числами, только по собственным правилам. Эти правила — словарь всего курса: на них держится метод Гаусса, поиск собственных векторов и компьютерная графика.

Что такое матрица: определение и размеры#

Матрица — это прямоугольная таблица из $m\cdot n$ чисел, записанная в $m$ строк и $n$ столбцов. Числа в таблице называют элементами матрицы и помечают двойным индексом: $a_{ij}$ стоит на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца. Короткая запись: $A=(a_{ij})$; если нужно подчеркнуть размер, пишут $A_{m\times n}$ — «матрица $m$ на $n$».

Размер читают так: сначала строки, потом столбцы. Матрица размера $2\times 3$ — две строки и три столбца. Пример из жизни: студент сдаёт три предмета, по каждому известно два балла — за контрольную и за лабораторную. Данные складываются в таблицу три на два:

Две матрицы равны, если у них одинаковый размер и все соответствующие элементы совпадают: $a_{ij}=b_{ij}$ для каждого $i$ и каждого $j$. Звучит тривиально, но именно это соглашение превращает «таблицу» в объект, с которым можно работать строго.

Линейные операции: сложение и умножение на число#

Складывать можно только матрицы одинакового размера. Сложение идёт поэлементно: чтобы получить элемент $c_{ij}$ суммы, сложите элементы $a_{ij}$ и $b_{ij}$, стоящие на тех же местах.

Пусть за первую контрольную студент принёс столбец баллов $(82,74,91)$, а за вторую получил $(6,10,4)$ бонусных очков за активность. Итоговая ведомость: $(88,84,95)$. Умножение на число работает так же честно — каждый элемент умножается на это число:

Разность определяется через сложение: $A-B=A+(-1)\cdot B$. А весь набор линейных операций подчиняется знакомым со школы правилам:

• $A+B=B+A$ — коммутативность
• $(A+B)+C=A+(B+C)$ — ассоциативность
• $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$, $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$ — дистрибутивность
• есть нулевая матрица $O$ того же размера: $A+O=A$

Умножение матриц: правило «строка на столбец»#

Вот операция, которая ломает привычку «считай поэлементно». Умножить $A$ на $B$ можно только если число столбцов $A$ равно числу строк $B$. Если $A$ имеет размер $m\times n$, а $B$ — размер $n\times p$, то произведение $C=AB$ будет размером $m\times p$.

Формула читается так: элемент $c_{ij}$ — это сумма произведений элементов $i$-й строки матрицы $A$ на элементы $j$-го столбца матрицы $B$. Мнемоника: строка идёт навстречу столбцу. Схема размеров: $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$ — внутренние размеры обязаны совпасть и «исчезают», из внешних собирается ответ.

1. 1
   Пусть $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\\ 4& 0\end{array}\right)$. Размеры совместимы, результат будет $2\times 2$.
2. 2
   $c_{11}$: первая строка $A$ на первый столбец $B$: $1\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot 4=9$.
3. 3
   $c_{12}$: первая строка на второй столбец: $1\cdot 1+0\cdot 2+2\cdot 0=1$.
4. 4
   $c_{21}$: вторая строка на первый столбец: $3\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 4=3$.
5. 5
   $c_{22}$: вторая строка на второй столбец: $3\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 0=5$.
6. 6
   Итог: $AB=\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ 3& 5\end{array}\right)$.

А если переставить множители? Ничего похожего не выйдет: размеры $(3\times 2)(2\times 3)$ дадут матрицу $3\times 3$ — вообще другой объект. Но даже когда оба множителя квадратные и оба порядка существуют, ответы различаются. Возьмём $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ и посчитаем честно:

Матрицы в общем случае не коммутируют: $AB\ne BA$. Это главная прививка всего курса. Из неё, например, следует осторожность с квадратом суммы: формула $(A+B{)}^2$ не сворачивается в $A^2+2AB+B^2$, пока $A$ и $B$ не коммутируют.

Зачем такое странное правило? Композиция преобразований

Правило «строка на столбец» придумали не для мучения первокурсников. Матрица — это линейное преобразование плоскости или пространства: умножение $Ax$ отправляет вектор $x$ в новый вектор. Если применить сначала $B$, а потом $A$, итоговое преобразование описывается матрицей $AB$ — произведение и есть композиция действий:

Проверьте на числах: для тех же $A$ и $B$ возьмём $x=(1,1)$. Сначала $Bx=(1,8)$, затем $A(1,8)=(17,35)$. А напрямую $AB\cdot x=(17,35)$. Совпало — потому что $AB$ и означает «сначала $B$, потом $A$». Порядок в записи идёт справа налево, как в композиции функций $f(g(x))$.

Транспонирование и особые матрицы#

Транспонирование — отражение матрицы относительно главной диагонали: строки становятся столбцами, элемент $a_{ij}$ переезжает на место $a_{ji}$. Обозначение $A^T$, в старых учебниках встречается $A^{\prime }$. Размер меняется с $m\times n$ на $n\times m$:

• $(A^T{)}^T=A$ — двойное отражение возвращает исходную матрицу
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$ — транспонирование дружит со сложением
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ — произведение транспонируется в обратном порядке
• $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$

Несколько матриц достойны отдельных имён. Единичная $E$ (в англоязычных книгах $I$) — квадратная, единицы на главной диагонали и нули вне её; она играет роль единицы: $AE=EA=A$. Нулевая $O$ — все элементы нули. Диагональная — ненулевые элементы могут стоять только на главной диагонали. Симметричная — совпадает со своим транспонированием: $A^T=A$.

Для квадратной матрицы определены степени: $A^2=AA$, $A^3=A^{2}A$ и так далее. Забавный факт: $A^2=E$ ещё не значит, что $A=\pm 1$. Матрица $P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ меняет местами координаты точки, и $P^2=E$ — два обмена возвращают всё на место, хотя сама $P$ ни на единицу, ни на минус единицу не похожа.

Арифметический словарь собран: сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование. Следующий шаг — число, которое квадратная матрица выдаёт о себе сама: определитель. Он покажет, во сколько раз преобразование меняет площади, и подскажет, когда матрицу можно «обратить». Потренируйте операции в тренажёре по матрицам — задачи там с автопроверкой.

Арифметическая зарядка перед переходом к определителям. Пусть $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 2\end{array}\right)$. Считаем $2A-3B$. Удвоение множит каждый элемент: $\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -2& 6\end{array}\right)$. Утроение даёт $\left(\begin{array}{cc}3& 12\\ 0& 6\end{array}\right)$. Вычитание идёт поэлементно: $\left(\begin{array}{cc}1& -12\\ -2& 0\end{array}\right)$. Три действия, ни одного хитрого правила — на этом уровне матрицы ведут себя как обычные числа, и комбинация $\alpha A+\beta B$ при любых коэффициентах остаётся матрицей того же размера. Линейная алгебра зовётся линейной в том числе за это. Сюрпризы начнутся, когда встретятся два произведения: там появится и некоммутативность, и определитель как мера преобразования.