Определитель матрицы: формулы, свойства и примеры

У матрицы есть паспортная характеристика — одно число, которое определяет её судьбу. Если это число равно нулю, система уравнений может не иметь решений, обратной матрицы не существует, а плоскость схлопывается в прямую. Число это называется определителем. В этом уроке научимся его считать для матриц второго и третьего порядка, поймём геометрический смысл и соберём свойства, которые экономят пол-экзамена.

Определитель второго порядка#

Определитель — функция, заданная на квадратных матрицах: для прямоугольной таблицы его просто не существует. Обозначения: $\det A$, $|A|$ или греческая $\Delta$ (дельта). Для матрицы $2\times 2$ формула проста: перемножаем главную диагональ и вычитаем произведение побочной.

Пример: $\det \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)=3\cdot 4-1\cdot 2=12-2=10$. Проверьте сами на любой матрице с двумя одинаковыми строками: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$ даёт $1\cdot 2-2\cdot 1=0$. Совпадение? Нет — свойство, о котором ниже.

Геометрический смысл: если столбцы матрицы — два вектора на плоскости, то $|\det A|$ равен площади параллелограмма, который они натягивают. Знак отвечает за ориентацию: положительный определитель — плоскость не переворачивалась, отрицательный — отзеркалилась. Само число $\det A$ — коэффициент, во который умножаются все площади при преобразовании $x\mapsto Ax$.

Свойства определителя: восемь правил#

Свойства определителя выводятся из строгого определения через перестановки, но запоминать доказательства на зачёте не нужно — нужно уверенно пользоваться правилами. Вот полный джентльменский набор:

• $\det E=1$: определитель единичной матрицы равен единице
• при транспонировании определитель не меняется: $\det A^T=\det A$
• перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя
• умножение строки на число $\lambda$ умножает определитель на $\lambda$
• две одинаковые или пропорциональные строки — определитель равен нулю; нулевая строка — тоже
• прибавление к строке другой строки (умноженной на любое число) не меняет определитель
• $\det (AB)=\det A\cdot \det B$ — определитель произведения равен произведению определителей
• если строка представлена как сумма двух, определитель разбивается в сумму двух определителей (линейность по строке)

Шестое правило — рабочая лошадка метода Гаусса: элементы под диагональю обнуляются элементарными преобразованиями строк, а определитель при этом не меняется. Пятое правило объясняет опыт с одинаковыми строками: пропорциональная строка — это умноженная на число копия, и определитель обязан обнулиться.

Определитель третьего порядка: разложение по строке#

Для матрицы $3\times 3$ работает разложение по строке: определитель равен сумме произведений элементов выбранной строки на их алгебраические дополнения. Это обобщается на любой порядок — и именно так считают определители больших матриц на компьютере.

Существует и готовая формула для $3\times 3$ — правило треугольников (его же называют правилом Саррюса): три произведения по главной диагонали и «треугольникам» идут с плюсом, три по побочной — с минусом.

Метод Гаусса: определитель через треугольный вид#

Разложение по строке для матрицы $4\times 4$ разворачивается в $4!=24$ слагаемых — вручную смерть. Спасение: элементарными преобразованиями привести матрицу к треугольному виду (нули под главной диагональю) и перемножить диагональные элементы — определитель треугольной матрицы равен произведению её диагонали.

1. 1
   Обнуляем первый столбец: из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2; из третьей вычитаем первую. Сами строки меняем по правилу «вычел — не изменился»: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& -2& 5\end{array}\right)$.
2. 2
   Обнуляем второй столбец: к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.
3. 3
   Матрица треугольная: определитель равен произведению диагонали $1\cdot 1\cdot (-1)=-1$.
4. 4
   Совпало с разложением по строке: $\det A=-1$. Два способа — один ответ.

Единственная ловушка: если ради удобства меняете строки местами, каждый обмен переворачивает знак определителя. Заодно выносите общие множители строк: вынесли 2 из строки — перед определителем появился множитель 2. В остальном метод честный и быстрый: примерно $n^3$ арифметических действий вместо $n!$ слагаемых.

Определитель — это и вычислительный инструмент, и диагноз: ноль означает вырождение, неноль — здоровье матрицы. Естественный вопрос: а можно ли ноль «починить», найти матрицу, которая отменяет действие данной? Да — и это обратная матрица, наш следующий герой.

Прорепетируем полный цикл на матрице $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 4& 1& 5\end{array}\right)$. Первая строка удобна для разложения: в ней нет нулей, зато числа маленькие. Выписываем миноры по очереди. Вычеркнули первую строку и первый столбец — осталось $\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 5\end{array}\right|=0\cdot 5-2\cdot 1=-2$. Для элемента во второй позиции: $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|=5-8=-3$. Для третьего: $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right|=1-0=1$. Знаки позиций — плюс, минус, плюс — встают между слагаемыми автоматически, итог собран в формуле ниже. Зачем три минора, если есть правило треугольников? Разложение работает на любом размере, где треугольники уже бессильны, а миноры — валюта будущих тем: алгебраические дополнения понадобятся при поиске обратной матрицы. И бонус наблюдательности: нулевой элемент в строке сократил бы расчёт — у нуля слагаемое умирает целиком, поэтому опытный глаз сначала ищет строку или столбец с нулями. Ещё одна страховка — оценка порядка: слагаемые здесь по модулю не больше четырёх, значит ответ рядом с ними, а не в сотнях.

Как запомнить

1. Строка или столбец с нулями — лучший путь разложения: каждый ноль убивает целое слагаемое, работа сокращается вдвое.
2. Знаки — шахматка от левого верхнего плюса: плюс, минус, плюс, минус — и так далее по диагонали.
3. Минор — ровно четыре числа на пересечении оставшихся строк и столбцов; сомневаетесь в вычёркивании — обведите их рамкой.
4. Правило треугольников годится только для размера три на три; разложение надёжнее и масштабируется на любые размеры.
5. Контрольные тесты: пропорциональные строки дают ноль, а определитель произведения равен произведению определителей — два быстрых теста на адекватность ответа.
6. Оценка перед счётом: слагаемые разложения не превосходят произведений максимумов строки и столбца, дикий ответ виден сразу.
7. Автоматизацию приносит только объём — тренажёр по матрицам гоняет определители в каждом втором задании.