Интерактивный курс
Теория функций действительного переменного
Строгая сторона анализа: мера Лебега, интеграл по мере и метрические пространства. Курс для тех, кто хочет понимать, почему математический анализ вообще работает.
Навигация по темам и прогресс
Мера и интеграл
Как Лебег переизобрёл интеграл и почему это было необходимо.
- 1Мера множества по Лебегу: как длину обобщают на любые множестваЧто такое мера множества, почему у счётного и у множества Кантора мера нуль, что значит «почти всюду» и при чём тут вероятность. Разбираем с примерами.⏱ 35 минСложность 4/5+65 XP
- 2Измеримые функции: что можно интегрировать по Лебегу и почемуКакая функция достойна интеграла: измеримость через множества уровней, сходимость почти всюду и по мере, критерий Лебега и функция Дирихле, разрывная везде.⏱ 32 минСложность 4/5+60 XP
- 3Интеграл Лебега: как устроен, что умеет и зачем он нуженКак интеграл Лебега режет ось значений, почему он берёт функцию Дирихле и что даёт вероятности и рядам Фурье. Построение через простые функции с примерами.⏱ 34 минСложность 4/5+70 XP
- 4Предельные теоремы Лебега: предел и интеграл поменялись местамиКогда ∫lim = lim∫: контрпример со сдвигающимся пиком, теоремы Леви, Фату и мажорант Лебега — с графиками, разбором и приложениями к теории вероятностей.⏱ 35 минСложность 4/5+65 XP
Сходимость и пространства
Равномерная сходимость и метрические пространства.
- 1Равномерная сходимость: предел непрерывных функций и полоса εЧем равномерная сходимость отличается от поточечной, почему xⁿ ломает непрерывность и когда ряды можно честно интегрировать и дифференцировать почленно.⏱ 35 минСложность 4/5+65 XP
- 2Метрические пространства: аксиомы, примеры и теорема полнотыЧто такое метрика и зачем три аксиомы, чем sup-метрика на C[a,b] отличается от L¹, почему Q «дырявое» и как метод Герона сходится к √2 — с интерактивами.⏱ 35 минСложность 4/5+65 XP
- 3Принцип сжатых отображений: как Банах гарантирует неподвижную точкуСжимающее отображение с q<1 гарантирует неподвижную точку: схема доказательства Банаха, итерации для x=(cos x+1)/2 и оценка ошибки q^n/(1−q).⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
- 4Гильбертовы пространства: как устроена геометрия в бесконечномерностиСкалярное произведение превращает функции в векторы: пространство L², полнота, ортогональные базисы и ряд Фурье как проекция — с теоремой Пифагора.⏱ 30 минСложность 3/5+65 XP
Босс-экзамен курса
Соберём вопросы из всех уроков — пройдите на 80%+, чтобы получить бейдж «Покорён ТФДП».