Интеграл Лебега: как устроен, что умеет и зачем он нужен

Посчитайте горсть монет двумя способами. Первый: брать монеты по очереди и накапливать сумму — так работает интеграл Римана, идущий по оси аргумента отрезок за отрезком. Второй: рассортировать монеты по номиналам и умножить каждый номинал на количество монет этого достоинства. Второй способ придумал Лебег — и он справляется даже тогда, когда «монеты» выстроены невыносимо плохо: функция разрывна всюду, определена на невообразимом множестве или является пределом других функций.

На языке функций: Риман режет ось аргумента и на каждом куске зажимает значение функции между минимумом и максимумом. Лебег режет ось значений: для каждого уровня $y$ смотрит, какой меры множество точек, где функция принимает значения около $y$, и умножает $y$ на эту меру. Мера взята из прошлого урока — она и есть касса, в которую складываются вклады уровней.

Почему разрез «по значениям» спасает на функции Дирихле?#

У Римана на функции Дирихле катастрофа: в любом отрезке разбиения есть и рациональные, и иррациональные точки, колебание равно единице, суммы Дарбу не сходятся. Переключим ось. Значений всего два: единица — на множестве $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ меры нуль, ноль — на дополнении меры $1$. Вклад единицы: $1\cdot 0=0$. Вклад нуля: $0\cdot 1=0$. Итого $0$ — и никакого жульничества: мера честно обнулила счётное множество, а нулевые значения домножились на единичную меру.

Заметьте, что произошло в постановке задачи: вместо вопроса «на каких отрезках функция прыгает» встал вопрос «какой меры множества, на котором функция держит значение». Второй вопрос имеет смысл при куда более диких функциях — в этом весь секрет. Выигрышный сценарий такой: функция принимает немного значений или её уровни устроены просто — тогда разрез по значениям мгновенно даёт точный ответ, где римановы суммы только дрожат.

Интегрировать можно и по части множества: ${\int }_{A}fd\mu$ означает $\int f{\chi }_{A}d\mu$ — интеграл той же функции, но умноженной на индикатор множества $A$. Так, интеграл Дирихле по половине отрезка всё равно нуль: ${\int }_{[0,1/2]}Dd\mu =1\cdot m(\mathbb{Q}\cap [0,1/2])+0=0$. А интеграл индикатора канторова множества по $[0,1]$ равен мере этого множества, то есть нулю — измерение множества и есть интегрирование его индикатора.

Как строится интеграл Лебега шаг за шагом?#

Шаг первый — простые функции: конечные линейные комбинации индикаторов измеримых множеств,

Для простой функции интеграл пишется сразу: каждая ступенька высоты $c_k$ умножается на меру своего множества,

Шаг второй — подъём к общей функции. Для неотрицательной измеримой $f$ интегралом Лебега называется супремум интегралов простых функций, поджимающих её снизу:

Значение может оказаться бесконечным — это не дефект, а честный отчёт о площади. Функцию произвольного знака разрезают на положительную и отрицательную части, $f=f^{+}-f^{-}$, где $f^{+}=\max (f,0)$, $f^{-}=\max (-f,0)$, и требуют конечности обоих интегралов; такие функции называют суммируемыми. Уже из определения видно обещание: $\int |f|=\int f^{+}+\int f^{-}<\infty$ — абсолютная интегрируемость встроена в фундамент, а не пришла позже.

Как выглядят простые аппроксимации снизу? Разрежьте ось значений на ступеньки высоты $2^{-k}$: на каждом диапазоне возьмите множество точек, где функция в него попадает, и поставьте там ступеньку высоты нижней границы. Ступеньки лежат под графиком и с каждым удвоением точности прижимаются к нему плотнее; супремум их интегралов и есть ответ. Никаких пределов разбиений по аргументу, никаких первообразных — только меры множеств уровня.

Почему супремум, а не предел сумм? Супремум не требует выбирать разбиения и следить за их измельчением: он перебирает сразу все простые аппроксимации снизу. Для непрерывной функции на отрезке ответ совпадает с римановым, для изрезанной — даёт число там, где у Римана пусто.

1. 1
   Функция: $D=1\cdot {\chi }_Q+0\cdot {\chi }_I$, где $Q=\mathbb{Q}\cap [0,1]$, а $I$ — иррациональные точки $[0,1]$
2. 2
   Это простая функция: две ступеньки на измеримых множествах — считаем прямо по определению
3. 3
   Мера первой ступеньки: $m(Q)=0$ — счётное множество нулевой меры
4. 4
   Мера второй: $m(I)=1-0=1$ — дополнение нуль-множества на отрезке
5. 5
   Интеграл: ${\int }_0^{1}Dd\mu =1\cdot 0+0\cdot 1=0$
6. 6
   Контроль по супремуму: всякая простая $s\le D$ вне $Q$ не превосходит нуля, супремум её интегралов равен $0$ — сошлось

Какими свойствами обладает интеграл Лебега?#

На суммируемых функциях интеграл ведёт себя как линейный функционал с бонусами, которых у Римана нет:

• Линейность: ${\int }_E(\alpha f+\beta g)d\mu =\alpha {\int }_{E}fd\mu +\beta {\int }_{E}gd\mu$;
• Монотонность: $0\le f\le g$ влечёт ${\int }_{E}fd\mu \le {\int }_{E}gd\mu$;
• σ-аддитивность по множествам: если $E={⨆}_n{E}_n$ — счётное объединение непересекающихся измеримых кусков, то ${\int }_{E}fd\mu ={\sum }_n{\int }_{E_n}fd\mu$;
• Оценка модуля: $\left|{\int }_{E}fd\mu \right|\le {\int }_E|f|d\mu$.

σ-аддитивность по множествам стоит отдельного взгляда: интеграл дробится по счётному числу кусков, как и мера. Это следствие σ-аддитивности самой меры и оно же — причина, почему у интеграла Лебега работают предельные теоремы: монотонная сходимость Леви, доминируемая сходимость Лебега, лемма Фату. Они отвечают на вопрос «когда $\int f_n\to \int f$» при на удивление слабых условиях: почти-всюдная сходимость плюс интегрируемая мажоранта. Разбор — в уроке о предельных теоремах Лебега; у риманова интеграла аналогичные теоремы требуют равномерной сходимости — редкой и дорогой.

Что Лебег может, а Риман не может?#

Для непрерывных на отрезке функций интегралы Римана и Лебега совпадают — новая теория ничего не ломает, вся таблица определённого интеграла работает как раньше. Расходы начинаются на «плохих» функциях. По критерию Лебега (разбор — в прошлом уроке) Риман берёт ограниченную функцию, только когда её разрывы образуют нуль-множество; Лебег берёт всякую ограниченную измеримую. Функция Дирихле — витрина: у Римана интеграла нет, у Лебега — $0$.

Есть и цена. Интеграл Лебега абсолютно интегрируем: конечный $\int f$ означает конечный $\int |f|$, условной сходимости в духе несобственных интегралов у него нет. Классический пример: ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$ по Риману — условно, за счёт взаимного гашения положительных и отрицательных площадей. А вот ${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx=\infty$, значит, в лебеговском смысле $\frac{\sin x}{x}$ на луче не суммируема вовсе. Такие интегралы считаются несобственными — пределами интегралов по отрезкам (подробнее). Плата оборачивается выигрышем: перестановки предела и интеграла легальны при слабых, чётко проверяемых условиях, а не при чудом уцелевшей сходимости.

Как посчитать интеграл Лебега руками? Ещё один пример#

Механика «по значениям» работает и для не-простых функций, если известны меры уровней. Возьмём $f(x)=x^2$ на $[0,1]$ и разрежем по значениям. Для уровня $y$ множество $\{x:f(x)>y\}$ — это $(\sqrt{y},1]$, его мера $1-\sqrt{y}$. Формула слоя — интеграл функции равен интегралу по уровням мер их множеств — даёт:

Проверим механику на ещё одной функции: $f(x)=x$ на $[0,1]$. Уровень $y$ превышается на множестве $(y,1]$ меры $1-y$; формула слоя даёт ${\int }_0^1(1-y)dy=1/2$ — знакомая площадь треугольника. Когда уровни устроены просто, разрез по значениям считает интеграл ничуть не хуже обычных приёмов, а для ступенчатых и всюду разрывных функций у него просто нет конкурентов.

Где интеграл Лебега работает на вас?#

Пространства $L^p$ — обзорно. Для $p\ge 1$ пространство $L^p$ — суммируемые функции с нормой $\Vert f{\Vert }_p={\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$; расстояние между функциями — интеграл, и вместе с ним приходят сходимость, полнота, приближения. Крайние случаи тоже полезны: $L^1$ — суммируемые по модулю, $L^{\infty }$ — ограниченные почти всюду. При $p=2$ получается гильбертов мир со скалярным произведением $\int fg$ — дом рядов Фурье: полнота $L^2$ — именно то, чего риманову интегралу не хватало для аккуратной теории разложений. Метрическая точка зрения на эти пространства — в уроке о метрических пространствах. Отдельную словарную статью имеет пространство L¹ — крайний случай семейства.

Вероятность. Математическое ожидание случайной величины $X$ — это интеграл Лебега по вероятностной мере: $\mathbb{E}X={\int }_{\Omega }XdP$. Для дискретных величин он распадается в сумму ${\sum }_k{x}_{k}P(X=x_k)$, для непрерывных — в $\int xf(x)dx$ по плотности (непрерывные случайные величины). Дисперсия, закон больших чисел, центральная предельная теорема формулируются и доказываются на языке Лебега; без его интеграла современный теорвер не собрать. Сходимость по мере из прошлого урока — это в точности сходимость случайных величин по вероятности.

Интеграл стоит на мере, измеримости и супремуме по простым функциям — и уже переваривает всё, что раньше разваливалось. Следующий шаг — предельные теоремы Лебега: монотонная и доминируемая сходимость превратят «интеграл предела» из надежды в теорему. После них курс выйдет на равномерную сходимость и метрические пространства — каркас функционального анализа.