Предельные теоремы Лебега: предел и интеграл поменялись местами

Задача выглядит невинно: дана последовательность функций $f_n$, каждая интегрируема, и $f_n\to f$. Можно ли написать $\lim \int f_n=\int f$? На контрольной эту строчку выписывают почти все — и почти всегда зря. Для конечных сумм перестановка законна, для пределов — нет: предел суммы и сумма пределов расходились у нас уже не раз. Равномерная сходимость спасает, но она слишком дорогая: реальным последовательностям часто нечего прижимать к предельному графику. Интеграл Лебега предлагает условия дешевле — и это тот момент, где вся конструкция из уроков про меру множества и интеграл Лебега начинает работать по-настоящему.

Почему нельзя просто поменять предел и интеграл местами?#

Вот знаменитая «игла». На отрезке $[0,1]$ положим $f_n(x)=n$ для $0\le x\le 1/n$ и $f_n(x)=0$ в остальных точках. Каждая $f_n$ — прямоугольник: высота $n$, основание $1/n$.

Зафиксируем точку $x>0$. Как только номер превысит $1/x$, отрезок $[0,1/n]$ останется слева от нашей точки, и $f_n(x)=0$. Значит, поточечный предел равен нулю всюду, кроме $x=0$ (там $f_n(0)=n$ улетает на бесконечность — но одна точка для интеграла Лебега ничего не весит, мера нулевая). Итого $f_n\to 0$ почти всюду.

А теперь интегралы: площадь прямоугольника $n\cdot \frac{1}{n}=1$ не меняется ни при каком $n$. Получаем чехарду: $\lim \int f_n=1$, но $\int \lim f_n=0$. Равенство сломалось, хотя каждая функция интегрируема и предел существует почти всюду. Куда ушла масса? Высота растёт как $n$, ширина сжимается как $1/n$ — интеграл стоит на месте, а предельная функция его не видит. Это и есть цена поточечной сходимости: она ничего не знает о площадях.

Полезное упражнение с графиком: прикиньте полуширину пика — точки, где функция падает вдвое от максимума $n$. Из уравнения $n{e}^{-n^2{x}^2}=n/2$ выходит $x=\sqrt{\ln 2}/n\approx 0,83/n$: ширина убывает как $1/n$, высота растёт как $n$, их произведение — грубая оценка площади — постоянно. Гладкие пики ведут себя в точности как игла из прямоугольников, только без углов, и потому лучше годятся для рисунков в тетради.

Игла ставит диагноз: нужен инструмент, который контролирует не отдельные точки, а утечку массы. Таких инструментов три, и все они носят имена математиков начала XX века — Леви, Фату и Лебег. Пройдём их по возрастанию силы. Для сравнения: в римановском мире перестановку оправдывала равномерная сходимость — единый номер $N(\epsilon )$ для всех точек сразу. Она по-прежнему достаточна, но игла равномерной не является: расстояние $\sup |f_n-0|=n$ никуда не стремится. Сравнение двух языков — предмет отдельного разговора, к нему вернёмся в конце.

Теорема Леви: если функции растут монотонно, предел интегралов честный?#

Первая помощь приходит от монотонности. Пусть $0\le f_1\le f_2\le \dots$ — неубывающая последовательность измеримых функций. Поточечный предел $f=\lim f_n$ тогда существует автоматически (значения могут быть бесконечными — это не пугает, теория Лебега дружит с $+\infty$). Теорема Леви (монотонная сходимость):

Идея доказательства укладывается в одну фразу: интеграл Лебега монотонен. Каждое $\int f_n\le \int f$, поэтому последовательность интегралов не убывает и ограничена сверху — предел существует. Осталось убедиться, что по дороге ничего не теряется. Технически: для любой простой функции $\phi \le f$ показывают $\int \phi \le {\sup }_n\int f_n$, а затем пропускают через супремум по всем таким $\phi$ — выходит $\int f\le \sup \int f_n$. Обратное неравенство тривиально. Подробная выкладка опирается на определение интеграла через простые функции из урока про интеграл Лебега.

Слово «почти всюду» в формулировках — не перестраховка, а рабочая деталь. Переопределим $f_n$ в одной-единственной точке на значение миллион: интегралы не изменятся, все условия останутся верными, а поточечный предел подправится. Теория Лебега держит исключения на мере: множества нулевой меры для интеграла прозрачны. На этом же построена аккуратность с бесконечными значениями: если $f=+\infty$ на множестве положительной меры, интеграл предела бесконечен — и Леви честно сообщит об этом обеими своими частями. Определения из урока про измеримые функции написаны так, чтобы такие перестановки были законны.

Слабое место теоремы Леви — само условие монотонности: последовательности в задачах редко ведут себя столь дисциплинированно. Игла монотонной не является: $f_1$ нигде не меньше $f_2$ в точках правее $1/2$. Впрочем, проверьте сами: интегралы иглы равны $1$, а интеграл предела равен $0$ — если бы Леви была применима, получилось бы противоречие. Монотонность здесь не украшение, а несущая стена. Зато там, где она есть — например, у рядов из неотрицательных функций, где частичные суммы растут автоматически, — теорема Леви незаменима: интеграл суммы ряда равен сумме интегралов даже без абсолютной сходимости.

Лемма Фату: почему вместо равенства получается неравенство?#

Уберём монотонность, оставим неотрицательность. Лемма Фату: если $f_n\ge 0$ измеримы и $f_n\to f$ почти всюду, то

Неравенство — не скидка за плохое поведение, а максимум честности. Для иглы: интеграл предела $0$, нижний предел интегралов $1$, и $0\le 1$ — большего сказать нельзя, равенство не восстанавливается никакими ухищрениями. Нижний предел $\mathrm{liminf}$ выбран не случайно: он переживает дрожание интегралов. Даже если последовательность интегралов не имеет предела, $\mathrm{liminf}$ существует всегда (возможно, бесконечный) — для утверждения о неравенстве этого достаточно. Три характерных сценария:

• $f_n\equiv 1$ на $[0,1]$: предел 1, интегралы 1 — Фату даёт $1\le 1$, равенство достижимо
• игла $f_n=n$ на $[0,1/n]$: предел 0 почти всюду, интегралы 1 — расхождение на целую единицу
• $f_n=n^{2}x{e}^{-nx}$ на $[0,\infty )$: пик ползёт вправо, интеграл равен 1 при всех $n$, предел 0 — снова $0\le 1$

Истинная роль Фату — смазка между Леви и Лебегом. Приём: применить лемму к двум неотрицательным последовательностям, собранным из мажоранты. Если $-g\le f_n\le g$, то $g+f_n\ge 0$ и $g-f_n\ge 0$. Фату для первой даёт $\int f\le \mathrm{liminf}\int f_n$, для второй — $\mathrm{limsup}\int f_n\le \int f$. Два неравенства сжимают $\lim \int f_n$ в тиски — ровно то, что нужно для теоремы о мажорантах.

Теорема Лебега о мажорантах: что даёт интегрируемый потолок?#

Главный рабочий инструмент всего курса. Теорема Лебега (о мажорантах): пусть $f_n\to f$ почти всюду и существует измеримая функция $g$ с $\int gd\mu <\infty$, такая что

Мажоранта — это общий потолок для всех членов последовательности сразу. У иглы его нет, и вот проверка: если $g\ge f_n$ для всех $n$, то в каждой точке $x\in (0,1]$ должно быть $g(x)\ge {\sup }_n{f}_n(x)\ge 1/x$ (пик высоты $n\approx 1/x$ накрывает эту точку). Но ${\int }_0^1\frac{dx}{x}=\infty$ — интегрируемого потолка не существует. Условие теоремы нарушено именно там, где ломается перестановка: она не просто работает, она правильно отказывается работать.

Доказательство обзорно: зажим $-g\le f_n\le g$ и два применения Фату дают $\mathrm{limsup}\int f_n\le \int f\le \mathrm{liminf}\int f_n$ — осталось сжать. Усиление $\int |f_n-f|\to 0$ получается применением той же схемы к $|f_n-f|$, ведь $|f_n-f|\le |f_n|+|f|\le 2g$, а удвоенная мажоранта интегрируема. Вся теорема — аккуратная упаковка леммы Фату.

Полный пример: две задачи, где мажоранта есть и где её нет

Задача 1 (мажоранта есть). Найти $\lim {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$. Для каждого $x\in [0,1)$ числитель $x^n\to 0$, значит $f_n(x)\to 0$; в точке $x=1$ имеем $f_n(1)=1/2$ — предел $1/2$. Одна точка на всю последовательность? Мера нулевая, поэтому почти всюду предел равен нулю. Мажоранта очевидна: $|f_n(x)|\le 1$ на $[0,1]$, а константа $g\equiv 1$ интегрируема на отрезке. По теореме Лебега ответ: ${\int }_0^{1}0dx=0$. Заметьте, как изящно исчезла точка $x=1$ — в римановском мире пришлось бы мучиться с неравномерной сходимостью. Дополнительная проверка без всяких теорем: ${\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$ — зажим подтверждает ответ независимо.

Задача 2 (мажоранты нет). Найти $\lim {\int }_0^1\frac{ndx}{1+n^2{x}^2}$. Наивная перестановка говорит: при фиксированном $x>0$ дробь стремится к нулю, интеграл нулевой. Правда другая: замена $u=nx$ даёт ${\int }_0^1\frac{ndx}{1+n^2{x}^2}={\int }_0^n\frac{du}{1+u^2}=\mathrm{arctg}n\to \frac{\pi }{2}\approx 1,571$. Пик высоты $n$ у точки ноль сужается как $1/n$ — та же игла, только гладкая. Минимальная мажоранта ${\sup }_n\frac{n}{1+n^2{x}^2}=\frac{1}{2x}$ (максимум по $n$ достигается при $n=1/x$), а её интеграл расходится. Условий Лебега нет — и предсказание теоремы сбывается: ответ не ноль.

Где теорема Лебега зарабатывает: вероятности и производная по параметру#

Теория вероятностей говорит на языке интегралов Лебега: матожидание $EX$ — интеграл случайной величины по вероятностной мере. Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое $\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$ сходится к $EX$ — то есть предел интегралов по эмпирическим мерам равен интегралу по предельной мере. Чебышёв даёт сходимость по вероятности, но усиленный закон больших чисел Колмогорова выводится в точности через теоремы Леви (по монотонности усечённых средних) и Лебега: мажорантой служит интегрируемость $|X|$. Всякий раз, когда статистик меняет предел и интеграл местами, он стоит на плечах этого урока — подробности в разборе закона больших чисел.

Второй конвейер — дифференцирование интеграла по параметру. Хотим писать $F^{\prime }(t)=\int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$ для $F(t)=\int f(x,t)dx$? Достаточно, чтобы частная производная имела интегрируемую мажоранту: $|\frac{\partial f}{\partial t}|\le g$. Разностные отношения $\frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h}$ тогда зажаты, и по теореме Лебега перестановка законна. Пример: $F(t)={\int }_0^1\frac{\sin (tx)}{x}dx$ — здесь $|\partial f/\partial t|=|\cos (tx)|\le 1$, поэтому $F^{\prime }(t)={\int }_0^1\cos (tx)dx=\frac{\sin t}{t}$. Красивый ответ получен без единого вычисления первообразной.

Практический алгоритм для задач курса собирается из четырёх шагов. Первый: найти поточечный предел $f$ и проверить, что множество исключений имеет меру нуль. Второй: понять, что стоит в ответе — $\lim \int$ или $\int \lim$, перепутать легко. Третий: искать мажоранту — константу на конечном отрезке, экспоненту на бесконечной прямой, любую функцию с конечным интегралом. Четвёртый: если мажоранты нет, считать интеграл точно (замена переменной, интегрирование по частям) и сравнивать с перестановкой — расхождение само покажет, где убежала масса.

Соберём линии в одну картину. Леви берёт монотонностью, Фату — честным неравенством для неотрицательных последовательностей, Лебег — потолком-мажорантой; доказательство самой сильной теоремы собирается из самой слабой за два применения. Все три — инструменты одного назначения: проконтролировать, чтобы масса не убегала, пока $n\to \infty$. Игла показывает, что без контроля убегает; задача с $\frac{n}{1+n^2{x}^2}$ показывает, что теорема отказывает ровно тогда, когда должна.

Следующий шаг — посмотреть на сходимость глазами геометра: что меняется, если требовать не «почти всюду», а равномерного прижатия графиков? Разница решает судьбу непрерывности предельной функции, и у неё есть собственный словарь — равномерная сходимость.