Интерактивный курс
Уравнения математической физики
Как волна бежит по струне и тепло растекается по стержню: уравнения в частных производных, метод Фурье, краевые задачи. Каждое уравнение — с живой визуализацией процесса.
Навигация по темам и прогресс
Основы уравнений в частных производных
Что такое УЧП, как их классифицируют и зачем нужны характеристики.
- 1Уравнения в частных производных: классификация и канонический видКак определить тип уравнения в частных производных по знаку B²−AC: гиперболические, параболические и эллиптические уравнения и приведение к каноническому виду.⏱ 35 минСложность 3/5+60 XP
- 2Метод характеристик: как решать гиперболические уравненияРешаем уравнение переноса a·u_x + b·u_y = 0 вдоль характеристик: инвариант bx−ay, задача Коши, три примера с проверкой подстановкой и мост к формуле Даламбера.⏱ 30 минСложность 3/5+60 XP
Метод Фурье: волны и тепло
Разделение переменных — главный инструмент математической физики.
- 1Метод разделения переменных (метод Фурье): шаги и примерыКак решать уравнение струны методом Фурье: произведение X·T, спектр λ_n=(πn/L)², ортогональность синусов и разложение начальных условий — алгоритм с примером.⏱ 38 минСложность 3/5+65 XP
- 2Волновое уравнение: колебания струны и формула ДаламбераВыводим u_tt = a²u_xx из второго закона Ньютона, разбираем формулу Даламбера по частям, считаем частоты струны f_n = n·v/2L и энергию колебаний — с примерами.⏱ 35 минСложность 3/5+60 XP
- 3Уравнение теплопроводности: вывод, метод Фурье и примерыКак остывает стержень: вывод уравнения теплопроводности из закона Фурье, затухание тепловых мод, три типа граничных условий и численный пример с расчётом.⏱ 35 минСложность 3/5+60 XP
- 4Неоднородные задачи: метод Фурье для уравнения с правой частьюСтруна в резонансе и стержень с печкой: три схемы для неоднородных задач — разложение источника по модам, линейный рост амплитуды и сдвиг на стационарное решение.⏱ 32 минСложность 3/5+60 XP
Краевые задачи и потенциал
Стационарные процессы, собственные функции и преобразование Фурье.
- 1Уравнение Лапласа: гармонические функции и принцип максимумаЧто общего у стационарного тепла, электростатики и идеальной жидкости: гармонические функции, принцип максимума, задачи Дирихле и Неймана, решение в круге.⏱ 35 минСложность 3/5+60 XP
- 2Задача Штурма–Лиувилля: собственные функции и разложенияПочему в методе Фурье появляются синусы: задача Штурма–Лиувилля, свойства собственных значений, ортогональность с весом и разложение по собственным функциям.⏱ 35 минСложность 4/5+60 XP
- 3Преобразование Фурье для УЧП: теплопроводность и ядро ГауссаКак решить теплопроводность на бесконечном стержне: преобразование Фурье превращает дифференцирование в умножение, УЧП — в ОДУ, а ответ выходит гауссовым ядром.⏱ 30 минСложность 3/5+60 XP
- 4Задача Дирихле для круга: метод Фурье и формула ПуассонаЧто будет в центре круга, если по ободу нагрев неравномерный: разделение переменных в полярных координатах, гармоники, ряд и формула Пуассона с проверкой числом.⏱ 34 минСложность 3/5+65 XP
Вариационные методы и приложения
Проекционные методы и приложения упругости: от Галёркина до задачи Миндлина.
- 1Метод Галёркина: проекционные методы для краевых задачКогда метод Фурье не справляется: невязка, слабая форма, весовые и пробные функции — и ручной расчёт коэффициентов a1 и a2 для стержня с проверкой каждым числом.⏱ 38 минСложность 4/5+70 XP
- 2Задача Миндлина: сила внутри упругого полупространстваСила не на поверхности, а на глубине: чем Миндлин дополнил Буссинеска и Кельвина, как глубина прячет нагрузку и одна честная численная оценка осадки в миллиметрах.⏱ 35 минСложность 4/5+65 XP
- 3Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра: постановка, резольвента, примерыНеизвестная функция под интегралом: чем Фредгольм отличается от Вольтерра, откуда берётся ряд Неймана с резольвентой и почему краевая задача — это интегральное уравнение с ядром Грина. Ручной пример с вырожденным ядром.⏱ 36 минСложность 4/5+70 XP
Численные решения УЧП
Метод сеток: как решать уравнения в частных производных на компьютере.
Босс-экзамен курса
Соберём вопросы из всех уроков — пройдите на 80%+, чтобы получить бейдж «Покорён Матфизика».