Уравнение теплопроводности: вывод, метод Фурье и примеры

Проведите ладонью вдоль чугунной батареи: у входного патрубка металл обжигает, у дальнего конца — лишь тёплый. Через час картина сгладится, к ночи батарея станет почти однородно тёплой. Температура здесь — функция двух переменных сразу: положения $x$ и времени $t$. Уравнение теплопроводности описывает эволюцию этой функции, а заодно предсказывает прогрев детали при закалке, диффузию примеси в кремний и остывание земной коры. Выведем уравнение из физики, решим его методом Фурье и разберёмся, почему остывание необратимо — а волна обратима.

От закона Фурье к уравнению: баланс тепла на кусочке#

Физика процесса укладывается в одно наблюдение: тепло течёт от горячего к холодному, и чем круче перепад, тем сильнее поток. Фурье записал это одной строкой — плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры со знаком минус.

Здесь $q$ — сколько ватт проходит через квадратный метр сечения за секунду; $k$ — коэффициент теплопроводности материала; $u_x$ — наклон профиля температуры. Минус — сердце закона: поток направлен против градиента. Если температура растёт слева направо ($u_x>0$), тепло движется влево, к холодному концу. Формула не требует никакого «физического чутья»: знак перепада однозначно задаёт направление потока.

Теперь возьмём кусочек стержня между $x$ и $x+dx$ и посчитаем баланс за секунду. Через левый торец тепло пришло, через правый ушло; разность потоков $-q_{x}dx$ — то, что «задержалось», — пошла на нагрев. Нагрев измеряется через теплоёмкость: $c\rho dx{u}_t$, где $c$ — удельная теплоёмкость, $\rho$ — плотность, а $dx$ — объём кусочка на единицу площади сечения. Приравниваем: $c\rho u_t=-q_x$. Подставляем закон Фурье — и получаем главное уравнение темы:

Читаем по буквам. $u(x,t)$ — температура в точке $x$ в момент $t$; $u_t$ — скорость нагрева в этой точке; $u_{xx}$ — кривизна профиля температуры. Смысл уравнения простой: точка нагревается тогда, когда её температура ниже, чем у соседей. Выпуклый горб ($u_{xx}<0$) остывает, вогнутая впадина прогревается. Коэффициент $a^2$ называют коэффициентом температуропроводности — это скорость, с которой материал выравнивает температурные перепады. Квадрат в обозначении не украшение: размерность $a^2$ — м²/с, как у диффузии, с которой тема родная.

Какие граничные условия ставить на концах#

Уравнение имеет бесконечно много решений: чтобы выделить одно, нужны данные. Начальное условие $u(x,0)=\phi (x)$ задаёт распределение температуры в момент старта; на бесконечном стержне одного этого условия достаточно — там ставят задачу Коши для уравнения теплопроводности. На концах стержня — три классических сценария, и все три выводятся из закона Фурье, а не из справочника:

Проверьте второй случай руками: изоляция означает отсутствие потока; поток по Фурье пропорционален $u_x$; значит, на торце $u_x=0$. Никакой мистики — прямое следствие определения. Третий род, закон Ньютона–Рихмана, — компромисс для реального мира: настоящий торец и не изолирован, и не зажат термостатом, а отдаёт тепло среде тем охотнее, чем сильнее перегрет. В учебных задачах чаще всего берут первый род с нулями: $u(0,t)=u(L,t)=0$ — концы прижаты к термостату. Именно этот случай разберём до конца.

Метод Фурье: почему все режимы умирают экспоненциально#

Идея метода разделения переменных — искать решение произведением $u(x,t)=X(x)T(t)$. Подстановка расщепляет уравнение в частных производных на два обычных, и каждое решается школьной техникой:

1. 1
   Подстановка $u=XT$ и деление на $XT$ дают $\frac{T^{\prime }}{a^{2}T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$: слева время, справа координата, равенство возможно лишь при постоянной $\lambda$.
2. 2
   Краевые условия $X(0)=X(L)=0$ выбирают ${\lambda }_n={\left(\frac{\pi n}{L}\right)}^2$ и $X_n(x)=\sin \frac{\pi nx}{L}$ — та же задача на собственные значения, что и в задаче Штурма–Лиувилля.
3. 3
   Для времени остаётся $T^{\prime }=-a^2{\lambda }_{n}T$, и решение — чистая экспонента $T_n(t)=e^{-a^2(\pi n/L{)}^{2}t}$: без колебаний, только затухание.
4. 4
   Общее решение — сумма по всем модам; коэффициенты $b_n$ берутся из разложения начальной температуры $\phi (x)$ по синусам.

Посчитаем для стержня $L=1$ и $a^2=1$. Показатели затухания: ${\lambda }_1={\pi }^2\approx 9,87$, ${\lambda }_2=4{\pi }^2\approx 39,5$, ${\lambda }_3=9{\pi }^2\approx 88,8$. За одну секунду первая мода множится на $e^{-9,87}\approx 5,2\cdot 10^{-5}$ — от неё остаётся пять стотысячных амплитуды. Вторая за ту же секунду умножается на $e^{-39,5}\approx 7\cdot 10^{-18}$: как не бывало. Третья — тем более.

Отсюда главный вывод урока: быстрые моды умирают первыми, потому что показатель экспоненты растёт как $n^2$. Сложите хоть сотню синусов с острыми пиками — уже при малом $t$ от высоких номеров не останется следа, и профиль станет плавным. Сигнал сглаживается. Резкий перепад на границе, «зубцы» начального распределения, мелкая рябь масштаба $L/n$ — всё это высокие частоты, и всё это исчезает раньше, чем закончится медленный общий прогрев. Знаменитая необратимость тепла начинается вот здесь — с квадратичной зависимости темпа затухания от номера моды. То же затухание работает и на численные методы: безусловно устойчивая схема Кранка–Николсона для тепла не требует ограничения на шаг по времени.

Характерное время остывания — время жизни первой моды: $\tau \sim L^2/({\pi }^2{a}^2)$. Зависимость от длины квадратичная: стержень вдвое короче остывает вчетверо быстрее. Медный стержень метр длиной ($a^2\approx 1,2\cdot 10^{-4}$ м²/с) имеет $\tau \approx 1/(9,87\cdot 1,2\cdot 10^{-4})\approx 845$ с — около четырнадцати минут. Полметра — уже три с половиной. Заодно оцените глубину прогрева: за время $t$ тепло проникает на расстояние порядка $\sqrt{a^{2}t}$ — корень, а не линейка (задача меняется лишь через масштаб $\sqrt{t}$ — решение автомодельное), поэтому первые сантиметры нагреваются быстро, а середина толстой заготовки — мучительно долго.

Чем тепло отличается от волны#

Ближайший родственник темы — волновое уравнение $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$. По координате там тоже вторая производная, и решает его тот же метод Фурье. Но по времени порядок второй, и моды не затухают, а колеблются: $\sin (\pi nct/L)$ вместо $e^{-a^2(\pi n/L{)}^{2}t}$. Струна помнит начальную форму и гоняет её туда-сюда бесконечно; стержень о начальной форме забывает.

Необратимость — не дефект, а честное свойство модели. Решение с ростом времени существует и приглаживается, а назад во времени чаще всего разваливается: чтобы «перемотать» остывание, начальные данные пришлось бы разглаживать, и ряд перестаёт сходиться. Математики различают типы: волна — гиперболическое уравнение, тепло — параболическое. А приглаживание до колокола — та же логика, что в центральной предельной теореме: гаусс — аттрактор и для сумм случайных чисел, и для тепловых профилей. Об этом — в уроке про преобразование Фурье для УЧП.

Где это работает: от закалки до диффузии#

Одномерная модель — не игрушка. Инженеры считают по ней прогрев ствола при стрельбе, остывание стальной отливки после закалки (там на границе условия третьего рода), теплопотери трубопровода. Сам Фурье в 1820-е прикладывал уравнение к остыванию земного шара и оценивал возраст Земли по её тепловым запасам — оценка оказалась заниженной, потому что радиоактивный разогрев недр тогда не знали, но математика работала.

Диффузия примеси — тот же механизм: концентрация $C$ подчиняется $C_t=D{C}_{xx}$ с коэффициентом диффузии $D$ вместо $a^2$. Легирование полупроводников, распространение красителя в стоячей воде, диффузия атомов при отжиге металла — всё считается этим уравнением. Высокие пространственные частоты гаснут и здесь: резкая граница между слоями размывается, клякса краски растекается. Гауссово размытие в графических редакторах — буквально решение теплопроводности за заданное «время»: формула ядра совпадает один в один.

Следующий шаг выбирайте по аппетиту. Хочется понять, откуда берутся моды у неоднородного стержня, где $a^2$ зависит от $x$? Открывайте урок про задачу Штурма–Лиувилля — там синусы обобщаются на произвольные коэффициенты. Нужно освежить технику разложений — пригодятся термин «ряд Фурье» и шпаргалка по дифференциальным уравнениям. И обязательно доведите одну задачу до конца на бумаге: ни один интерактив этого не заменит.