🌐 Матфизика

Автомодельное решение

Q: Почему ширина тепловой кляксы растётся как √t, а не как t?

Из баланса размерностей: в уравнении $u_t = a^2 u_{xx}$ время сравнивается с квадратом длины — $a^2 t$ имеет размерность длины в квадрате. Физически тепло — это случайные блуждания частиц, а разброс случайного блуждания за время $t$ растёт как $\sqrt{t}$. Формула подтверждает: экспонента $e^{-x^2/(4a^2 t)}$ меняется заметно, когда $x^2 \sim a^2 t$. Линейный закон $x \sim a\,t$ достаётся волнам, где есть инерция и скорость; у диффузии предпочтённого направления нет — отсюда корень.

англ. Self-similar solution

Решение, которое не меняется, а масштабируется: u(x, t) = t^α·f(x/t^β). Клякса тепла от мгновенного источника расползается как √t и проседает как 1/√t — форма при этом одна и та же.

Проверьте фотографию разлива краски через минуту и через час: картинки похожи, отличается только масштаб. Это автомодельное решение — эволюция без собственной шкалы: процесс забыл про абсолютные размеры и живёт лишь отношением $x / t$ . Ищем решение в виде $u (x, t) = t^{α} f (x / t^{β})$ : функция $f$ — застывший профиль, показатели $α$ и $β$ подбираются подстановкой в уравнение. Идея — из анализа размерностей: если у задачи нет характерной длины, кроме $a^{2} t$ , ничего другого и не может быть. Так качественная симметрия задачи превращается в точный вид решения — половина работы сделана ещё до вычислений.

Классика: мгновенный точечный источник тепла — вспышка в точке с запасом энергии $Q$ . Решение задачи $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ на всей оси ищется автомодельным: $u = \frac{Q}{4 π a ^{2} t} e^{- x^{2} / (4 a^{2} t)}$ . Подстановка подтверждает: решение, а интеграл по оси равен $Q$ при всех $t$ — энергия никуда не течёт, только перераспределяется. Ширина кляксы растёт как $a t$ , высота падает как $1/ t$ — произведение постоянно. Связка с теорией: та же формула — свёртка с гауссовым ядром для дельта-функции в задаче Коши для уравнения теплопроводности. Второй сорт автомодельности — бегущие волны $u = f (x - c t)$ у уравнения переноса: профиль едет, не меняясь, показатель $β = 1$ . Приложение к остывающим профилям — в уроке уравнение теплопроводности, сводка формул — в шпаргалке формулы УЧП.

u_{t} = a^{2} u_{xx} : u (x, t) = \frac{Q}{4 π a ^{2} t} exp (- \frac{x ^{2}}{4 a ^{2} t}), \int_{- \infty}^{\infty} u d x = Q

автомодельное решение для мгновенного точечного источника: профиль одна и та же гауссова кривая, растянутая по x как √t и сжатая по высоте как 1/√t, с сохранением полной массы Q

u = t^{α} f (ξ), ξ = \frac{x}{t} : a^{2} f^{''} + \frac{ξ}{2} f^{'} - α f = 0

подстановка анзаца в уравнение теплопроводности: степени t сокращаются только при правильном α, и остаётся обыкновенное уравнение на застывший профиль f

Частые вопросы

Что означает автомодельность простыми словами?

Это самопохожесть во времени: фотографии процесса в разные моменты отличаются только масштабом осей. Решение не просто существует — оно одинаково устроено при всех $t$ : одна кривая $f$ , которую растягивают по горизонтали и сжимают по вертикали по строгим правилам. Слово «модель» тут про масштабную модель: маленькая копия процесса в точности повторяет большую. Для тепла это клякса, растущая как корень из времени, для переноса — профиль, едущий с постоянной скоростью.

Почему ширина тепловой кляксы растётся как √t, а не как t?

Из баланса размерностей: в уравнении $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ время сравнивается с квадратом длины — $a^{2} t$ имеет размерность длины в квадрате. Физически тепло — это случайные блуждания частиц, а разброс случайного блуждания за время $t$ растёт как $t$ . Формула подтверждает: экспонента $e^{- x^{2} / (4 a^{2} t)}$ меняется заметно, когда $x^{2} \sim a^{2} t$ . Линейный закон $x \sim a t$ достаётся волнам, где есть инерция и скорость; у диффузии предпочтённого направления нет — отсюда корень.