Метод характеристик: как решать гиперболические уравнения

Река несёт пятно краски: пятно смещается вниз по течению, а форма его не меняется. Профиль концентрации сегодня ровно тот же, что час назад, — только сдвинутый на пару сотен метров. Такое «перенесение без искажений» описывается уравнением в частных производных первого порядка, и решается оно в одну строчку. Но за этой строчкой стоит метод, который тянет на себе и волновое уравнение: метод характеристик.

Уравнение переноса: производная по направлению#

Простейшее линейное УЧП первого порядка с двумя переменными:

Слева стоит не что иное, как производная функции $u$ по направлению вектора $(a,b)$: скалярное произведение градиента $\nabla u=(u_x,u_y)$ на вектор $(a,b)$. Это ровно та конструкция, которую разбирают в уроке про частные производные и градиент. Уравнение говорит: в каждой точке плоскости скорость изменения $u$ вдоль направления $(a,b)$ равна нулю. Двигайтесь по полю в этом направлении — значение $u$ не изменится ни на йоту.

Вдоль каких кривых решение сохраняется?#

Кривая, в каждой точке которой касательный вектор равен $(a,b)$, — это прямая с параметризацией $x=x_0+as$, $y=y_0+bs$. Такие прямые называют характеристиками уравнения. При постоянных $a$ и $b$ они образуют семейство параллельных прямых. Что у этого семейства общего? Выражение $bx-ay$: вдоль прямой $x=x_0+as$, $y=y_0+bs$ оно равно $b{x}_0-a{y}_0$ и не меняется, ведь $\frac{d}{ds}(bx-ay)=b\cdot a-a\cdot b=0$.

Теперь строго. Положим $v(s)=u(x_0+as,y_0+bs)$ — значения $u$ вдоль характеристики. По цепному правилу

Производная тождественно равна нулю, значит $v(s)=\text{const}$: решение постоянно вдоль характеристик. Отсюда общий вид решения: $u=f(bx-ay)$, где $f$ — произвольная дифференцируемая функция. Проверим дифференцированием: $u_x=b{f}^{\prime }(bx-ay)$, $u_y=-a{f}^{\prime }(bx-ay)$. Подставляем: $a\cdot b{f}^{\prime }+b\cdot (-a{f}^{\prime })=0$ — тождество. Одна произвольная функция на уравнение первого порядка, как одна константа в ОДУ первого порядка.

Геометрическая картинка полезнее заученной формулы. В каждой точке плоскости уравнение $a{u}_x+b{u}_y=0$ запрещает рост $u$ ровно в одном направлении — вдоль $(a,b)$. Нарисуйте это поле стрелок, и прямые-характеристики станут видны без вычислений: они всюду идут по стрелкам. Значение $u$ на одной такой прямой можно назначить произвольно, на соседней — другое, и уравнение не возразит. Единственная связность, которую оно требует, — «вдоль», отсюда и произвольная функция от инварианта.

Как поставить и решить задачу Коши?#

Общее решение $u=f(bx-ay)$ — целое семейство. Конкретную функцию выдирают начальные данные. Перейдём к физической записи: независимые переменные $x$ (координата) и $t$ (время), уравнение переноса

По общей формуле инвариант характеристик: $bx-ay$ превращается в $x-at$, и решение $u=f(x-at)$. Задача Коши: задать профиль в начальный момент, $u(x,0)=\phi (x)$. Подставляем $t=0$: $f(x)=\phi (x)$. Значит,

Числовой пример. $u_t+3u_x=0$, $u(x,0)=\sin x$. Здесь $a=3$, инвариант $x-3t$, решение $u=\sin (x-3t)$. Проверка подстановкой: $u_t=-3\cos (x-3t)$, $u_x=\cos (x-3t)$; сумма $-3\cos (x-3t)+3\cos (x-3t)=0$ — уравнение выполнено. При $t=0$ получаем $\sin x$ — начальное условие тоже. Две строчки проверки закрывают задачу целиком.

Из формулы u = arphi(x - at) читается важное свойство переноса: значение $u$ в точке $(x,t)$ зависит ровно от одной точки начальной линии — от arphi(x - at). Говорят, что область зависимости вырождена: возмущение не размазывается, а едет как одна точка. Скорость распространения информации конечна и равна $a$ — то, что случилось на левом краю, правый край заметит не сразу; это принцип причинности в его простейшей форме.

Функция arphi при этом может быть сколь угодно «грубой» — хоть с изломом, хоть ступенькой. Разрыв начального профиля просто переезжает вдоль характеристики: решение u = arphi(x - at) наследует все особенности arphi без сглаживания. Это противоположно уравнению теплопроводности, где любой рваный профиль мгновенно становится плавным, — и служит ещё одним маркером разницы гиперболического и параболического миров.

Три примера с проверкой подстановкой#

Пример 1: общее решение. $u_x+2u_y=0$. Здесь «$a$» стоит при $u_x$: $a=1$, $b=2$. Инвариант $bx-ay=2x-y$. Ответ: $u=f(2x-y)$. Проверка: $u_x=2f^{\prime }(2x-y)$, $u_y=-f^{\prime }(2x-y)$, и $1\cdot 2f^{\prime }+2\cdot (-f^{\prime })=0$ — тождество.

Пример 2: криволинейные характеристики. Уравнение $u_x+y{u}_y=0$ — коэффициент $b=y$ уже не константа, и характеристики будут кривыми. Ищем их из системы $\frac{dx}{ds}=1$, $\frac{dy}{ds}=y$: делим одно на другое, $\frac{dy}{dx}=y$, откуда $\ln |y|=x+C$ и $y{e}^{-x}=\text{const}$. Решение: $u=f(y{e}^{-x})$. Проверка: $u_x=f^{\prime }\cdot (-y{e}^{-x})$, $u_y=f^{\prime }\cdot e^{-x}$; подставляем: $-y{e}^{-x}{f}^{\prime }+y\cdot e^{-x}{f}^{\prime }=0$ — тождество. Мораль: характеристики не обязаны быть прямыми, метод остаётся тем же — в том числе для квазилинейных уравнений, где коэффициенты зависят от самого решения $u$.

1. 1
   Уравнение $u_t-2u_x=0$, начальное условие $u(x,0)=x^2$.
2. 2
   Скорость переноса $a=-2$: волна пойдёт влево. Инвариант $x-at=x+2t$.
3. 3
   Общее решение $u=f(x+2t)$; начальное условие даёт $f(x)=x^2$.
4. 4
   Ответ: $u=(x+2t{)}^2$.
5. 5
   Проверка уравнения: $u_t=4(x+2t)$, $u_x=2(x+2t)$, и $u_t-2u_x=4(x+2t)-4(x+2t)=0$ — тождество.
6. 6
   Проверка данных: $u(x,0)=x^2$ — совпало. Готово.

Как характеристики работают в волновом уравнении?#

Волновое уравнение $u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0$ — второй порядок, но его оператор раскладывается на два переноса: $u_{tt}-a^2{u}_{xx}=({\partial }_t-a{\partial }_x)({\partial }_t+a{\partial }_x)u$. Каждый множитель — уравнение первого порядка со своим инвариантом. Отсюда два семейства характеристик: $x-at=\text{const}$ и $x+at=\text{const}$.

Каждое слагаемое — перенос начального профиля без искажений, первое вправо, второе влево. Именно эта формула — формула Даламбера — получается в уроке волновое уравнение и колебания струны с явной сборкой из начальных условий. Заметьте преемственность: классификация из урока уравнения в частных производных: классификация и канонический вид называла уравнение гиперболическим именно потому, что у него два семейства вещественных характеристик.

Метод характеристик и метод Фурье — два разных ключа к одной двери. Характеристики дают решение в бегущих волнах и особенно хороши для бесконечной струны; метод разделения переменных из урока метод разделения переменных (метод Фурье) раскладывает то же решение на стоячие волны, когда есть края и граничные условия. Идея «решение живёт на характеристиках» всплывёт и в задаче Коши для ДУ первого порядка: там вдоль кривых тоже переносятся данные.

• Уравнение $a{u}_x+b{u}_y=0$ — нулевая производная по направлению $(a,b)$
• Характеристики — кривые с касательным вектором $(a,b)$; для констант $a,b$ это прямые $bx-ay=\text{const}$
• Общее решение $u=f(bx-ay)$; уравнение первого порядка прячет одну произвольную функцию
• Задача Коши $u(x,0)=\phi (x)$ для $u_t+a{u}_x=0$ даёт $u=\phi (x-at)$ — профиль едет вправо
• Волновое уравнение = два переноса: $x-at$ и $x+at$ дают два семейства характеристик и формулу Даламбера

Дальше по курсу характеристики превращаются в рабочий инструмент канонического вида, а следующая большая тема — конечная струна: метод разделения переменных (метод Фурье) покажет, как из бегущих волн собираются стоячие.