🌐 Матфизика

Квазилинейное уравнение

англ. Quasilinear equation

Уравнение, линейное по старшим производным, но с коэффициентами, зависящими от самого решения: u_t + u·u_x = 0. Суперпозиции нет, характеристики могут пересечься, а гладкий профиль — порваться за конечное время.

Линейное уравнение предсказуемо: коэффициенты при производных заданы заранее, решения можно складывать и умножать на числа. В квазилинейном уравнении старшие производные входят в первой степени, но коэффициенты при них зависят от самого решения — уравнение по ходу дела само себе меняет коэффициенты. Для первого порядка это $a (x, t, u) u_{x} + b (x, t, u) u_{t} = c (x, t, u)$ . Разница принципиальная: принцип суперпозиции исчезает, метод разделения переменных и ряды Фурье неприменимы, зато метод характеристик жив — характеристическая система остаётся набором ОДУ, просто с коэффициентами, зависящими от $u$ .

Знаменитый пример — уравнение Бюргерса без вязкости $u_{t} + u u_{x} = 0$ : скорость переноса равна самому значению решения, поэтому бугры бегут быстрее впадин и профиль ворочается, как волна на отмели. Начальный профиль $u (x, 0) = 1 - x$ : неявное решение $u = 1 - (x - u t)$ разрешается в $u = \frac{1 - x}{1 - t}$ . Подстановка в уравнение сходится, но при $t \to 1$ знаменатель гаснет, а производная $u_{x} = - \frac{1}{1 - t}$ уходит в минус бесконечность — градиентная катастрофа, после которой гладкого решения нет и рождается разрыв, ударная волна. Так математика описывает опрокидывающуюся волну: вязкость или законы сохранения продолжают решение за точкой разрыва; тип уравнения при этом гиперболический — гиперболическое уравнение. Полный разбор характеристического метода — в уроке метод характеристик, потренировать постановки — в тренажёре тренировка по математической физике.

u_{t} + u u_{x} = 0 : \frac{d x}{d t} = u, \frac{d u}{d t} = 0 \Rightarrow x (t) = ξ + u_{0} (ξ) t, u = u_{0} (ξ)

характеристики уравнения Бюргерса: каждая точка профиля едет со своей скоростью u₀(ξ) — прямые идут веером, и пересечение веера и есть момент разрыва

u_{t} + u u_{x} = 0, u (x, 0) = 1 - x \Rightarrow u (x, t) = \frac{1 - x}{1 - t}, u_{x} = - \frac{1}{1 - t} \to - \infty при t \to 1

уравнение Бюргерса: квазилинейный перенос рвёт гладкий профиль за конечное время — градиентная катастрофа при t = 1, у линейного переноса такого не бывает

Суперпозиции нет — проверяйте привычки

Если

u_{1}

u_{2}

— решения квазилинейного уравнения, сумма

u_{1} + u_{2}

обычно решением не является: новая функция меняет коэффициенты при производных. Привычки линейной теории — разложение по модам, разбиение задачи на части со сложением ответов — здесь не работают. Рабочие инструменты другие: характеристики, законы сохранения, вязкая регуляризация; волновое уравнение с натяжением, зависящим от прогиба, тоже становится квазилинейным.

Частые вопросы

Чем квазилинейное уравнение отличается от линейного и полностью нелинейного?

Граница проходит по старшим производным. Линейное: коэффициенты зависят только от независимых переменных, старшие производные входят первой степенью. Квазилинейное: старшие производные всё ещё в первой степени, но коэффициенты могут зависеть от решения и его младших производных — как $u u_{x}$ в уравнении Бюргерса. Полностью нелинейное: старшие производные входят нелинейно, например $u_{xx}^{2} + u_{y y} = 0$ . Квазилинейность — самый мягкий уровень нелинейности: для первого порядка метод характеристик сохраняется целиком.

Что такое градиентная катастрофа и что происходит после неё?

Это обращение производной решения в бесконечность за конечное время при конечных самих значениях: у уравнения Бюргерса с профилем $1 - x$ производная равна $- 1/ (1 - t)$ и рвётся при $t = 1$ . Причина — обгон: точки профиля с большим значением едут быстрее и догоняют впереди идущие. После катастрофы классического решения нет, но физика продолжается: разрыв сглаживают вязкостью, а в слабом смысле решение продолжают условием Рэнкина-Гюгонио — скачок едет со скоростью, диктуемой законом сохранения.