📈 Матанализ

Интеграл

Q: Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый — это семейство всех первообразных $F(x)+C$, функция от $x$. Определённый — число: площадь/накопленный эффект на отрезке $[a,b]$.

англ. Integral

Накопитель: площадь под кривой, суммарный эффект от непрерывного процесса, обратная операция к дифференцированию.

Интеграл — это «умножение для переменных величин». Скорость меняется каждую секунду — как узнать пройденный путь? Разбить время на крошечные кусочки, на каждом умножить скорость на длительность и всё сложить. В пределе бесконечно мелкого дробления это и есть интеграл:

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (ξ_{i}) Δ x_{i}

Геометрически — площадь под графиком между $a$ и $b$ . Механически — накопленный эффект. А алгебраически (по основной теореме анализа) — обратная операция к дифференцированию: $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ .

Частые вопросы

Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый — это семейство всех первообразных $F (x) + C$ , функция от $x$ . Определённый — число: площадь/накопленный эффект на отрезке $[a, b]$ .

Что означает константа C?

Первообразных бесконечно много: они отличаются вертикальным сдвигом, а все их производные одинаковы. $C$ кодирует, какую именно выбрать — это определяется начальными условиями задачи.

пошагово

Решатель интегралов

Решить интеграл по шагам

Решатель подберёт табличный случай или приём сведения и покажет каждый переход к первообразной.

Открыть решатель