Замена переменной в интеграле

Замена переменной — способ переписать интеграл в более простых буквах. Хотим вычислить $\int f(x)dx$; вводим $x=\phi (t)$ и получаем $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$: множитель ${\phi }^{\prime }(t)$ появляется автоматически, ведь $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$. Искусство — выбор новой переменной: годится «внутренняя» функция, рядом с которой торчит её собственная производная. Общая теория и отбор замен — в уроке метод замены и по частям, родственное понятие общего вида — в терминах замена переменной.

Разбор на числах: $\int x{e}^{x^2}dx$. Берём $t=x^2$, тогда $dt=2xdx$ и $xdx=\frac{dt}{2}$: интеграл превращается в $\frac{1}{2}\int e^{t}dt=\frac{e^t}{2}+C=\frac{e^{x^2}}{2}+C$. В определённом варианте ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$ пределы пересчитываются по замене: $x=0$ даёт $t=0$, $x=1$ даёт $t=1$, и ответ $\frac{1}{2}(e-1)\approx 0,859$ — возвращаться к $x$ уже не нужно. Проверка дифференцированием: производная $\frac{e^{x^2}}{2}$ равна $x{e}^{x^2}$ — всё сходится.

Рабочий арсенал короток и стоит выучить: линейная замена $t=kx+b$ для сдвигов; $t$ равен выражению под корнем; тригонометрические подстановки $x=a\sin t$, $x=a\mathrm{tg}t$ для корней $\sqrt{a^2-x^2}$ и $\sqrt{a^2+x^2}$; $t=\ln x$ в интегралах с $1/x$. Ловушки две: забыть прицепить ${\phi }^{\prime }(t)$ и потерять пересчёт пределов в определённом интеграле. Полные рецепты — в шпаргалке методов интегрирования, заготовки — в таблице интегралов, а быстрая проверка ответа — в решателе интегралов.