Метод замены и интегрирование по частям — приёмы с примерами

Таблица интегралов — как алфавит: знать буквы мало, нужно уметь складывать из них слова. А под интегралом редко лежит чисто табличная функция: то $\sin 5x$ с подстроенной частотой, то произведение $x{e}^x$, то экспонента от квадрата. Два приёма превращают почти всё это в табличные интегралы — замена переменной и интегрирование по частям. Дальше по курсу (дроби, тригонометрия, корни) вы будете в основном комбинировать именно их, так что здесь стоит не спешить.

Метод замены переменной#

Идея метода — правило цепочки, прочитанное справа налево. Когда мы дифференцируем сложную функцию, производная «протаскивается» внутрь: $(\sin 5x{)}^{\prime }=5\cos 5x$. Интегрированию нужна обратная услуга. Если под интегралом сидит какая-то функция и её производная, внутреннюю функцию выгодно обозначить новой буквой — она станет независимой переменной.

Разберём на примере $\int \sin 5xdx$. Обозначим $u=5x$, тогда $du=5dx$ и $dx=\frac{du}{5}$. Интеграл превращается в $\frac{1}{5}\int \sin udu=-\frac{1}{5}\cos u+C$. Возвращаемся к $x$: ответ $-\frac{1}{5}\cos 5x+C$. Проверка: ${\left(-\frac{\cos 5x}{5}\right)}^{\prime }=\sin 5x$ — сошлось. Замена сняла с синуса лишний множитель внутри аргумента.

Полезное обобщение для линейного аргумента: $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$, где $F$ — первообразная $f$. Логика та же: замена $u=ax+b$ с $du=adx$ каждый раз выдаёт множитель $\frac{1}{a}$. Так $\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$, а $\int \frac{dx}{2x+5}=\frac{1}{2}\ln |2x+5|+C$. Проверьте вторую дифференцированием — минута, а приём закреплён.

Более быстрый вариант того же приёма — подведение под знак дифференциала. Если видите произведение функции на её производную, замену можно даже не выписывать. В $\int x{e}^{x^2}dx$ множитель $xdx$ — половина дифференциала $x^2$: $\int e^{x^2}\cdot \frac{1}{2}d(x^2)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$. Проверьте дифференцированием: ${\left(\frac{e^{x^2}}{2}\right)}^{\prime }=x{e}^{x^2}$ — верно. Такие штуки распознаются взглядом, но идут от той же формулы замены. Общая схема приёма с учётом дифференциала — в статье замена переменной.

Когда замену видно сразу? Три частых сценария: линейная функция внутри ($\sin 5x$, $e^{3x}$, $\cos (x+2)$), аргумент-многочлен вместе с его производной множителем ($x^2$ и $x$, $x^3$ и $x^2$), и корни, которые удобнее срубить целиком заменой $t=\sqrt{\dots }$. Например, $\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$ одним движением, а $\int \frac{xdx}{1+x^4}$ сводится к арктангенсу заменой $u=x^2$: $\int \frac{du}{2(1+u^2)}=\frac{1}{2}\arctan u+C=\frac{1}{2}\arctan x^2+C$.

• $\sin \phi (x)$, $\cos \phi (x)$, $e^{\phi (x)}$ — ищите ${\phi }^{\prime }(x)$ множителем: в $\int \cos x{e}^{\sin x}dx$ замена $u=\sin x$ даёт $e^u+C=e^{\sin x}+C$
• корни: $t=\sqrt{ax+b}$ — вместе с $x=\frac{t^2-b}{a}$ и $dx=\frac{2tdt}{a}$
• логарифм: $u=\ln x$ сработает, только если рядом стоит $\frac{1}{x}=(\ln x{)}^{\prime }$
• аргумент-степень: $u=x^2$ в $\int x\sin (x^2)dx$, ведь $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$

Интегрирование по частям#

Второй приём выручает, когда под интегралом произведение разнородных функций — степень с экспонентой, логарифм с многочленом, икс с синусом. Берём правило производной произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, переносим $u^{\prime }v$ влево: $u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$. Интегрируем обе части равенства — и получаем главную формулу урока.

Смысл формулы в перекладывании сложности: часть работы уходит в готовое слагаемое $uv$, оставшийся интеграл должен быть легче исходного. Успех почти целиком зависит от выбора $u$. Практическое правило: на роль $u$ претендуют сначала логарифмы и обратные тригонометрические функции — их производные превращаются в рациональные дроби и корни, — затем многочлены. Экспоненты и тригонометрию выгоднее оставлять в $dv$: там они интегрируются мгновенно.

В англоязычных учебниках то же правило зовут LIATE: Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — порядок приоритета на роль $u$. Первым в списке стоит логарифм, последним — экспонента. Проверено задачниками: если функция-логарифм есть, её почти всегда берут за $u$.

А вот $\int \ln xdx$ — неожиданный кандидат на по частям: под интегралом, кажется, один множитель. Ловушка в том, что первообразной логарифма в таблице нет. Берём $u=\ln x$, $dv=dx$: тогда $du=\frac{dx}{x}$, $v=x$, и $\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$. Логарифм исчез из интеграла — задача закрыта.

1. 1
   Произведение степени на логарифм — сигнал «по частям»: $u=\ln x$ (производная упрощает), $dv=xdx$
2. 2
   $du=\frac{dx}{x}$, $v=\frac{x^2}{2}$
3. 3
   Формула: $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx$
4. 4
   Оставшийся интеграл — чистая степень: $\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{4}$
5. 5
   Ответ: $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$. Проверка: ${\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)}^{\prime }=x\ln x+\frac{x}{2}$, а производная $\frac{x^2}{4}$ отнимает лишнее $\frac{x}{2}$

Ещё один частый гость контрольных — $\int x\cos xdx$. Выбор тот же: $u=x$, $dv=\cos xdx$, откуда $v=\sin x$. Формула даёт $x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$. Заметьте: осталось лишь одно табличное слагаемое — знак минус из формулы по частям поглотился минусом интеграла синуса. Проверка: $(x\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$.

Как выбрать приём: три задачи на распознавание#

• $\int e^{5x}dx$ — внутри линейная функция, замена $u=5x$: ответ $\frac{1}{5}{e}^{5x}+C$
• $\int \frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$ — логарифм и его производная $\frac{1}{x}$ рядом, замена $u=\ln x$ даёт $\frac{u^3}{3}+C=\frac{{\ln }^{3}x}{3}+C$
• $\int x^2{e}^{x}dx$ — произведение без производной: по частям дважды, ответ $e^x(x^2-2x+2)+C$

Третий пример стоит проверить честно. После первого применения: $x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$. Внутренний интеграл уже умели считать выше: $x{e}^x-e^x$. Собираем: $x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)=e^x(x^2-2x+2)$. Каждый шаг сокращал степень многочлена — так метод и работает: степень падает, пока под интегралом не останется чистая экспонента.

Замена и по частям покрывают огромный класс задач, но не все: дроби вида $\frac{1}{x^2-1}$ требуют отдельного алгоритма — разложения на простейшие дроби, это следующий урок. Отработать выбор приёма на живых задачах можно в тренажёре интегралов; полная таблица со шпаргалкой — здесь; а откуда берётся замена, видно из урока про производную сложной функции — то же цепное правило, прочитанное в обратную сторону.

Собираем оба приёма в одной задаче#

Финальный прогон на живом примере: вычислить ${\int }_0^{\pi /3}x\sin 3xdx$. Под интегралом произведение многочлена и синуса, производной синуса рядом нет — значит, работаем по частям. Берём $u=x$, $dv=\sin 3xdx$. Тогда $du=dx$, а $v=-\frac{\cos 3x}{3}$: множитель $\frac{1}{3}$ появился из-за тройки в аргументе — та же механика, что и в замене $\sin 5x$ в начале урока. Формула даёт $\int x\sin 3xdx=-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx=-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}+C$. Осталось подставить края.

Считаем края по шагам. При $x=\frac{\pi }{3}$ косинус трёх икс равен $\cos \pi =-1$, а синус — $\sin \pi =0$: выходит $-\frac{\pi }{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+0=\frac{\pi }{9}\approx 0.35$. При $x=0$ оба слагаемых нулевые. Итого площадь под графиком $x\sin 3x$ на этом отрезке — треть числа пи. Вилка для самопроверки: функция не превышает $\frac{\pi }{3}\approx 1.05$, ширина отрезка такая же, значит площадь обязана быть меньше $1.1$ — ответ проходит. Заметьте: без множителя $\frac{1}{9}$ при синусе ответ взлетел бы втрое — цена спешки при интегрировании $dv$. Определённый интеграл здесь понадобился лишь в конце — как приращение первообразной.

1. увидел произведение без производной рядом — по частям; внутренняя функция со своей производной множителем — замена
2. выбор $u$ по приоритету: логарифм, арксинус или арктангенс, многочлен; экспонента и тригонометрия уходят в $dv$
3. интегрируя $dv$, не теряй коэффициенты: из $dv=\sin kxdx$ выходит $-\frac{\cos kx}{k}$, а не $-\cos kx$
4. новый интеграл сложнее старого? Поменяй $u$ и $dv$ местами, а не тяни дальше по инерции
5. ответ закрывается проверкой: продифференцируй результат (что такое производная) и сравни с подынтегральной функцией — расхождение укажет на ошибку в выборе $u$ или в коэффициентах