Неопределённый интеграл: первообразная, свойства и таблица

Производная решает прямую задачу: была функция — нашли скорость её изменения. Но в жизни чаще всё наоборот. Спидометр показывает 60 км/ч — сколько машина проедет за час? Известно, с какой скоростью наполняется бассейн, — сколько воды в нём наберётся за десять минут? Обе задачи про восстановление функции по её производной. Операция, которая это делает, называется интегрированием, и начинается она с понятия первообразной.

Первообразная: функция, спрятанная в производной#

Пусть дана функция $f$. Функция $F$ называется первообразной для $f$ на промежутке, если в каждой его точке $F^{\prime }(x)=f(x)$. Например, для $f(x)=x^2$ первообразной будет $F(x)=\frac{x^3}{3}$: дифференцируем — получаем обратно $x^2$. Впрочем, годятся и $\frac{x^3}{3}+5$, и $\frac{x^3}{3}-\pi$: производная постоянной равна нулю, поэтому дифференцирование константу не замечает. Значит, первообразных у одной функции — целое семейство.

Есть ли между членами семейства что-то, кроме вертикального сдвига? Нет — и это ключевая теорема. Любые две первообразные одной функции отличаются ровно на постоянное слагаемое. Доказательство умещается в строку: если $F^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)$, то производная разности $(F-G{)}^{\prime }=0$, а функция с нулевой производной на промежутке постоянна — это теорема Лагранжа, разобранная в уроке про теоремы о среднем.

Неопределённый интеграл#

Всё семейство первообразных принято записывать одной строкой. Неопределённым интегралом от функции $f$ называют совокупность всех её первообразных и обозначают $\int f(x)dx$. Если $F$ — одна из них, то $\int f(x)dx=F(x)+C$. Функцию $f$ зовут подынтегральной, букву $x$ — переменной интегрирования. Термин интеграл здесь означает «заготовку ответа», в которой пока не зафиксирована константа — отсюда слово неопределённый.

Интегрирование и дифференцирование взаимно обратны — как умножение и деление. Кто забыл производную как операцию — вернитесь к таблице производных, интегралы без неё не идут. Из взаимной обратности следуют два тождества, которые полезно проговорить словами: производная неопределённого интеграла возвращает подынтегральную функцию, а интеграл от производной восстанавливает функцию с точностью до константы.

Геометрическая картинка к определению: первообразная $F$ — кривая, наклон которой в каждой точке задан графиком $f$. Где $f$ большая — там $F$ круто карабкается; где $f$ обнуляется — $F$ замирает на вершине или во впадине. Все кривые семейства повторяют рельеф друг друга с точностью до вертикального сдвига — ровно это показывал симулятор с ползунком выше. Наклон теперь читается мгновенно: он равен значению подынтегральной функции.

• $(\int f(x)dx{)}^{\prime }=f(x)$ — производная интеграла возвращает подынтегральную функцию
• $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$ — интеграл от производной восстанавливает функцию
• $\int k\cdot f(x)dx=k\int f(x)dx$ — постоянный множитель выносится за знак интеграла
• $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ — интеграл суммы равен сумме интегралов

Первые два свойства — точное описание взаимной обратности. Последние два — правило линейности: оно разрешает интегрировать сложные выражения покусочкам, вынося числа наружу. На линейности держится решение половины задач из первых параграфов задачника.

Таблица основных интегралов#

Таблица интегралов — зеркало таблицы производных: каждую строку кто-то когда-то получил, подобрав функцию и проверив себя дифференцированием. Прежде чем заучивать, присмотритесь к паре строк со стороны. Интеграл от синуса равен минус косинусу — потому что производная $-\cos x$ равна как раз $\sin x$. Интеграл от единицы в числителе — логарифм с модулем: модуль сохраняет смысл и для отрицательных $x$. Полная версия с пояснениями лежит в шпаргалке по таблице интегралов.

Строка с основанием $a$ заслуживает числа. $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, и поскольку $\ln 2\approx 0.693$, коэффициент равен $1/0.693\approx 1.44$: экспонента с основанием два интегрируется чуть «дороже» натуральной. Частный случай $a=e$ возвращает тождественную строку $e^x+C$, ведь $\ln e=1$. Сомневаетесь — дифференцируйте: $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$, множитель и знаменатель сокращаются.

Как пользоваться таблицей? Привести интеграл к табличному виду — иногда буквально перестановкой множителей. Пример: $\int 5x^{2}dx=5\cdot \frac{x^3}{3}+C=\frac{5x^3}{3}+C$. Дробные показатели тоже не страшны: $\int \sqrt{x}dx=\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$. Проверьте сами: дифференцируя $\frac{2}{3}{x}^{3/2}$, вы получите ровно $\sqrt{x}$.

Пример посложнее: интеграл от многочлена#

1. 1
   Раскрываем по линейности: $\int 4x^{3}dx-\int 6xdx+\int 2dx$
2. 2
   Выносим константы: $4\int x^{3}dx-6\int xdx+2\int 1dx$
3. 3
   Каждое слагаемое табличное: $4\cdot \frac{x^4}{4}-6\cdot \frac{x^2}{2}+2x$
4. 4
   Собираем ответ с константой: $x^4-3x^2+2x+C$
5. 5
   Проверка дифференцированием: $(x^4-3x^2+2x{)}^{\prime }=4x^3-6x+2$ — совпало с подынтегральной функцией

Проверка — не формальность, а страховка. Дифференцировать свой ответ — тридцать секунд работы, зато сразу видно, не потеряли ли вы знак, множитель или константу. Преподаватели самопроверку не наказывают, а вот её отсутствие на защите разбора задачи замечают мгновенно: «а откуда взялась тройка перед иксом?» — и ответа нет.

Ещё один пример с дробью. $\int \frac{2x+3}{x}dx$: разделим числитель почленно — $\frac{2x+3}{x}=2+\frac{3}{x}$, откуда $\int 2dx+3\int \frac{dx}{x}=2x+3\ln |x|+C$. Дробь оказалась маскировкой двух табличных интегралов. Почленное деление — приём, который станет главным инструментом в уроке про дробно-рациональные функции; там он вырастет в целый алгоритм.

1. 1
   Три слагаемых — три табличные строки: две степенные и одна логарифмическая
2. 2
   $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$ — обычное повышение степени
3. 3
   $3\int \frac{dx}{x}=3\ln |x|$ — исключительный показатель $\mu =-1$
4. 4
   $\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}$ — дробный показатель делит на $\frac{1}{2}$, то есть умножает на два
5. 5
   Ответ: $\frac{x^3}{3}+3\ln |x|+2\sqrt{x}+C$. Проверка: производная $2\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — всё на месте

Запомнить за пять минут#

1. Первообразная — функция $F$ с $F^{\prime }=f$; она всегда с точностью до константы
2. Неопределённый интеграл $\int f(x)dx=F(x)+C$ — всё семейство первообразных
3. Степенная строка: степень вверх, делим на новую степень; $\mu =-1$ — отдельный случай с логарифмом
4. Линейность: константы выносятся, суммы интегрируются по частям
5. Проверка любого интеграла — дифференцирование ответа

Для закрепления таблицы покрутите карточки: лицевая сторона — интеграл, обратная — ответ. Считается выученным то, что вы назвали раньше, чем перевернули.

Когда ответа в таблице нет? Уже в первой сотне задач встречаются функции без первообразной среди элементарных: $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$. Интеграл от них существует — функция ведь непрерывна, — но записать ответ формулой из известных функций нельзя. Для таких случаев придуманы специальные функции и численные методы; они же ждут вас в уроке про определённый интеграл.

Таблица и линейность — это только первый этаж. Как только под интегралом появляется сложная функция вроде $\sin 5x$ или произведение вроде $x{e}^x$, нужны приёмы: замена переменной и интегрирование по частям. Им посвящён следующий урок — метод замены и интегрирование по частям. А потренироваться узнавать табличные интегралы среди замаскированных можно в тренажёре интегралов — там задачи с подсказками и разбором.