Замечательные пределы: формулы, доказательство, примеры

У таблицы умножения есть столбик, который учат наизусть. У пределов таких два: $\frac{\sin x}{x}\to 1$ и ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e$. Их называют замечательными — не за красоту, а за работу: без первого не раскрывается ни одна тригонометрическая неопределённость, без второго — ни одна показательная. Разберём оба, докажем и соберём таблицу эквивалентностей — главный ускоритель счёта.

Первый замечательный предел#

Утверждение: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Форма неопределённости $\frac{0}{0}$ — и числитель, и знаменатель в нуле обнуляются. Интуиция проста: при маленьких $x$ синус почти неотличим от аргумента, дуга и хорда практически совпадают. «Почти» сделаем точным.

Доказательство — из картинки. Возьмём в единичном круге угол $x$, где $0<x<\frac{\pi }{2}$. В него вписан малый треугольник с площадью $\frac{1}{2}\sin x$, сектор площадью $\frac{x}{2}$ и большой треугольник с площадью $\frac{1}{2}\mathrm{tg}x$. Треугольник лежит внутри сектора, сектор — внутри большого треугольника, поэтому площади идут по возрастанию:

Разделим все части на положительное $\frac{1}{2}\sin x$: получится $\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{\cos x}$. При $x\to 0$ оба края стремятся к единице — знакомая теорема о двух милиционерах, только теперь для функций. Для отрицательных $x$ всё симметрично: $\frac{\sin x}{x}$ — чётная функция. Первый замечательный предел доказан.

Следствия первого замечательного

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$: тангенс — это синус, делённый на косинус, а косинус уходит к единице
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$: из тождества $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$ и ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{arctg}x}{x}=1$: замена переменной $y=\arcsin x$

Считать теперь можно на автопилоте. Пример: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}5x}{\sin 2x}$. Представим дробь как $\frac{\mathrm{tg}5x}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \frac{5x}{2x}$: первые два множителя уходят к единице, остаётся $\frac{5}{2}$. Ответ $2.5$ без единого преобразования «в лоб».

Второй замечательный предел#

Последовательность ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ начинается со значений 2; 2.25; 2.370…; 2.441…; члены растут, но всё медленнее — и упираются в число $e=2.71828\dots$ Для функции то же самое: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ и равносильная форма ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{1/x}=e$.

Форма неопределённости здесь $1^{\infty }$: единица сама по себе ничего страшного не делает, но возводится в бесконечно большую степень — итог не обязан быть единицей. Именно через этот предел определяется экспонента — функция, описывающая любой процесс «скорость пропорциональна количеству»: размножение бактерий, распад изотопа, начисление процентов.

Следствия второго замечательного

• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x=e^k$ — в скобках множитель $k$, итог возводится в $k$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ — логарифм по основанию $e$ при малых $x$ ведёт себя как $x$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, а для общего основания ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

Пример на следствия: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^x=e^3$. А для ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)}{x}$ выносим двойку: $\frac{\ln (1+2x)}{2x}\cdot 2\to 1\cdot 2=2$. Оба ответа получаются в одну строку — так работает знание таблицы.

Если форма сложнее табличной, работает универсальный ход: $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$, а при $u\to 1$ логарифм разворачивается через эквивалентность $\ln (1+t)\sim t$, где $t=u-1$. Итог — правило $\lim u^v=e^{\lim v\cdot (u-1)}$ для $u\to 1$, $v\to \infty$. Например, ${\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}^{x^2\cdot \sin x}$? Степень растёт слишком медленно — там предел единица, проверьте сами.

Эквивалентности: ускоритель для 0/0#

Две бесконечно малые величины $\alpha$ и $\beta$ называются эквивалентными, если $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$; пишут $\alpha \sim \beta$. При малых $x$ синус эквивалентен $x$, экспонента минус единица — тоже. Смысл: в бесконечно малом мире все функции из таблицы ниже неотличимы от своих простых замен.

Правило применения: в произведении и частном бесконечно малые можно заменять эквивалентными — предел не изменится. Дробь $\frac{\mathrm{tg}5x}{\sin 2x}$ превращается в $\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}$ одним движением. Полный набор формул для повторения собран в шпаргалке по пределам, а тригонометрические тождества, которые помогают приводить выражения к табличному виду, — в шпаргалке по тригонометрии.

Полный разбор: синус и косинус в одной дроби

Синус и косинус часто приходят парой, и тогда выручают две эквивалентности сразу — для косинуса нужен второй порядок малости. Пример: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x\sin 3x}$.

1. 1
   Числитель: $1-\cos 2x\sim \frac{(2x{)}^2}{2}=2x^2$ — порядок $x^2$, а не $x$
2. 2
   Знаменатель: $x\sin 3x\sim x\cdot 3x=3x^2$
3. 3
   Дробь превращается в $\frac{2x^2}{3x^2}=\frac{2}{3}$

Здесь легко ошибиться в порядке малости: если заменить $1-\cos 2x$ на величину первого порядка, получится бессмыслица. Косинусное правило $1-\cos t\sim \frac{t^2}{2}$ — как раз про это: разность косинусов всегда второго порядка, и в таблице эквивалентностей она стоит на особом положении.

Полный разбор: экспонента против логарифма

Соберём таблицу в дело. Возьмём предел ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+5x)}$: и сверху, и снизу нуль, но множители разные — и это нормально.

1. 1
   Числитель: $e^{3x}-1\sim 3x$ — эквивалентность $e^t-1\sim t$ при $t=3x$
2. 2
   Знаменатель: $\ln (1+5x)\sim 5x$ — эквивалентность $\ln (1+t)\sim t$ при $t=5x$
3. 3
   Дробь превращается в $\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$
4. 4
   Ответ $0.6$ — три строки вместо страницы логарифмических преобразований

Проверка другим инструментом не помешает: Лопиталь даёт $\frac{3e^{3x}}{\frac{5}{1+5x}}$, при $x=0$ это $\frac{3}{5}$ — совпало. Два независимых способа сходятся к одному числу — значит, решение надёжное. На контрольной такой кросс-чек занимает полминуты, а снимает главный риск — арифметическую описку.

• Порядок действий в $\frac{0}{0}$: сначала эквивалентности, если не сработало — Лопиталь или Тейлор
• В $1^{\infty }$ ответ всегда вида $e^{\text{показатель}}$: ищите, что в скобке лишнее, и умножайте на степень
• Радианы вместо градусов — без этого оба замечательных предела ломаются
• Эквивалентности — в множителях да, в слагаемых нет
• Кросс-чек другим способом (Лопиталь, подстановка) ловит описки за полминуты

Закрепить замену эквивалентностей можно в тренажёре пределов: там целая серия задач на $\frac{0}{0}$ с синусами и логарифмами.

Финальная тренировка на связку двух эквивалентностей сразу. Пусть требуется ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)}{\sin 4x}$. Числитель: $\ln (1+t)\sim t$ при $t=2x$, сверху величина порядка $2x$. Знаменатель: $\sin 4x\sim 4x$. Дробь сжимается до $\frac{2x}{4x}=0.5$ — ни Лопиталя, ни разложений не понадобилось. Проверьте себя на варианте с минусом: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1-3x)}{\sin 6x}$ — ответ $-0.5$, знак приезжает из аргумента логарифма. Обе замены законны: это частное двух бесконечно малых, а в множителях эквивалентности работают без оговорок. Быстрая серия таких задач — в тренажёре пределов.