Первый и второй замечательные пределы

Дробь $\frac{\sin 5x}{\mathrm{tg}3x}$ при $x\to 0$ даёт $\frac{0}{0}$ — и ни один табличный предел тут не виден напрямую. Выручают два утверждения, которые математики честно назвали замечательными: они превращают тригонометрические и показательные неопределённости в арифметику за одну-две строки. Проверить себя живым счётом можно в решателе пределов, а здесь — как узнавать оба предела в бою.

Две формулы, на которых держится всё#

Первый предел говорит: у нуля синус неотличим от аргумента — дуга и хорда почти совпадают. Точная формулировка этого «почти» — сравнение площадей в единичном круге и теорема о двух милиционерах, полный вывод в уроке замечательные пределы. Второй описывает рост при спокойном основании: единица, возведённая в бесконечно большую степень, не обязана остаться единицей — итог и есть число $e\approx 2,718$.

Из первого следуют замены $\mathrm{tg}x\sim x$, $\arcsin x\sim x$, $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$; из второго — $(1+x{)}^{1/x}\to e$ и рабочий шаблон $\lim (1+\alpha {)}^{\beta }=e^{\lim \alpha \beta }$, когда $\alpha \to 0$ и $\beta \to \infty$. Полную таблицу замен разбирает страница таблица эквивалентностей — там же и граница их применимости.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Определите форму: подставьте точку и убедитесь, что выходит $\frac{0}{0}$ (для тригонометрии) или $1^{\infty }$ (для степени с переменным показателем).
2. 2
   Для $\frac{0}{0}$ с синусами, тангенсами, арксинусами приведите каждую пару «функция — аргумент» к виду $\frac{\sin (\square )}{\square }$.
3. 3
   Соберите дробь из множителей вида $\frac{\sin (\square )}{\square }$ и $\frac{\square }{\mathrm{tg}(\square )}$ — каждый стремится к единице.
4. 4
   Для $1^{\infty }$ выделите у основания добавку $1+\alpha$ с $\alpha \to 0$ и вычислите $e^{\lim \alpha \beta }$, где $\beta$ — показатель.

Разбор флагманского примера#

Считаем ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\mathrm{tg}3x}$. Оба элемента уходят в нуль — форма $\frac{0}{0}$. Разложим на множители: $\frac{\sin 5x}{\mathrm{tg}3x}=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{3x}{\mathrm{tg}3x}\cdot \frac{5x}{3x}$. Первые два множителя — классические заготовки, каждая стремится к единице; третий уносит число $\frac{5}{3}$. Ответ $\frac{5}{3}$, и на всё решение — одна строка перестроек.

Теперь пример с косинусом: он не входит в базовую формулу, зато входит в её следствие $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$.

Где прячется число e#

Второй замечательный предел любит маскировку. Классика — сложные проценты: капитал $1$ при ставке $\frac{1}{n}$, начисляемой $n$ раз за год, даёт ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$; чем чаще начисление, тем ближе итог к $e$. В задачах то же самое встречается в виде ${\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{x^2}$ или $(1+\sin 2x{)}^{\mathrm{ctg}x}$ — везде надо выделить у основания единицу и посчитать произведение «добавка × показатель».

Три типовые ошибки#

• Градусы вместо радиан: вся таблица верна только в радианах. Перевод $\sin x^{\circ }$ тянет за собой множитель $\frac{\pi }{180}$, о котором забывают.
• Подгонка $\sin (\square )\sim \square$ там, где аргумент не стремится к нулю. Замена работает лишь для бесконечно малых аргументов.
• Механическое $1^{\infty }=1$. Основание стремится к единице, но произведение «добавка × показатель» может уйти в любое число — проверяйте через экспоненту.