Таблица эквивалентностей в пределах

Дробь $\frac{\ln (1+2x)\left(e^{3x}-1\right)}{1-\cos 4x}$ при $x\to 0$ выглядит как задача на полстраницы: логарифм, экспонента, косинус — и всё сразу. С эквивалентностями она сворачивается в одну строку арифметики. Этот метод — главный ускоритель счёта пределов, и у него ровно одно жёсткое ограничение, на котором сыпется половина студентов. Разберём таблицу, алгоритм и это ограничение; живой счёт — в решателе пределов.

Идея: бесконечно малые взаимозаменяемы#

Эквивалентность $\alpha \sim \beta$ означает $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$: две бесконечно малые у нуля неразличимы с точностью до старших членов. В множителях и делителях эта разница на предел не влияет — поэтому замена законна. Именно так работает и первый замечательный предел: $\sin x\sim x$ у нуля, и в произведениях синус можно смело менять на аргумент. Все замены выводятся из двух замечательных пределов — их вывод собран в уроке замечательные пределы.

Таблица эквивалентностей при x → 0#

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Подставьте точку и убедитесь, что каждый множитель числителя стремится к нулю — работает отношение или произведение бесконечно малых.
2. 2
   Разбейте выражение на бесконечно малые множители: произведение и частное расщепляются на независимые куски.
3. 3
   Замените каждый кусок по таблице, не трогая суммы и разности внутри скобок.
4. 4
   Сократите степени $x$ и посчитайте оставшуюся арифметику — обычно это просто отношение коэффициентов.

Разбор флагманского примера#

Считаем ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)\left(e^{3x}-1\right)}{1-\cos 4x}$. Числитель — произведение двух бесконечно малых: $\ln (1+2x)\sim 2x$, $e^{3x}-1\sim 3x$, вместе — $6x^2$. Знаменатель — тоже бесконечно малая, но по следствию: $1-\cos 4x\sim \frac{(4x{)}^2}{2}=8x^2$. Отношение $\frac{6x^2}{8x^2}=\frac{3}{4}$. Три замены, ноль производных — и ответ готов.

А вот случай, где в лоб таблица обманывает: разность тангенса и синуса. Оба слагаемых эквивалентны $2x$, но их разность отнюдь не нулевая — смотрите, как её корректно починить.

Разность: почему нельзя и как можно#

В сумме и разности эквивалентности отбрасывают именно те члены, которые разность определяет: у $\mathrm{tg}x$ и $\sin x$ главная часть $x$ общая, а различие сидит в следующем порядке малости. Отсюда два корректных приёма. Первый — превратить разность в произведение через формулы понижения или общий множитель, как в примере выше. Второй — взять разложение глубже: $\mathrm{tg}x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, и разность равна $\frac{x^3}{2}+o(x^3)$. Это уже техника рядов Тейлора — запасной вход, когда таблицы не хватает.

Три типовые ошибки#

• Замена в разности: $\mathrm{tg}x-\sin x\ne x-x$. Сначала — общий множитель или формулы понижения, потом таблица.
• Замена не бесконечно малой: при $x\to \infty$ аргументы не стремятся к нулю, и вся таблица неприменима — сначала сведите выражение к нулевому приращению.
• Потеря степени у следствий: $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$, а не $x$. Проверяйте порядок малости каждой замены перед сокращением.