Предел функции: определение, графики и практика

Спидометр в такси показывает 63 км/ч. Это не средняя скорость за поездку и даже не средняя за последнюю минуту — это то, что прибор успевает измерить прямо сейчас. За словами «прямо сейчас» прячется предел функции: промежуток времени сжимается в точку, а число на табло остаётся. Сейчас сделаем эту интуицию строгой и научимся считать такие пределы руками.

Определение по Коши: эпсилон-дельта#

Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого $\epsilon >0$ найдётся $\delta >0$ такое, что для всех $x$ из проколотой окрестности точки $a$ выполнено $|f(x)-A|<\epsilon$. Пишут ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$.

Картинка двухмерная: $\epsilon$ задаёт горизонтальную полосу высотой $2\epsilon$ вокруг числа $A$, а $\delta$ — вертикальную щирину вокруг точки $a$. Требование жёсткое: весь кусок графика внутри щири обязаны лечь в полосу. Проколотая окрестность $0<|x-a|$ означает, что сама точку $a$ мы не трогаем: в ней функция может быть даже не определена. Предел описывает поведение вокруг точки, а не в ней.

Хрестоматийный пример — дырка в графике. Функция $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ в точке $x=1$ не существует: знаменатель обнуляется. Но при $x\ne 1$ дробь сокращается до $x+1$, и значения прижимаются к двойке. Предел равен $2$, хотя функции в этой точке нет.

Односторонние пределы и определение по Гейне#

К точке можно приближаться слева и справа — и ответы иногда различаются. Возьмём $f(x)=\frac{|x|}{x}$. Справа ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$, слева ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1$. Двустороннего предела в нуле нет, хотя оба односторонних существуют. Общее правило: двусторонний предел равен $A$ тогда и только тогда, когда левый и правый пределы существуют и оба равны $A$.

Есть и второе определение — по Гейне: ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$, если для любой последовательности $x_n\to a$ с $x_n\ne a$ значения $f(x_n)\to A$. Это мост между функциями и последовательностями: всё, что мы знаем про пределы последовательностей, переезжает на функции. А ещё это удобный способ доказывать несуществование: нашли две последовательности с разными ответами — предела нет. Для $\frac{|x|}{x}$ это $x_n=\frac{1}{n}$ (ответ 1) и $x_n=-\frac{1}{n}$ (ответ −1).

Как вычислять: практикум#

Шаг первый — подстановка

Если функция непрерывна в точке, предел равен значению: ${\lim }_{x\to 2}(x^2+1)=2^2+1=5$. Все элементарные функции — многочлены, корни, синусы, экспоненты, логарифмы — непрерывны там, где определены. Поэтому в половине задач просто подставьте число. Неопределённость начинается, когда получаются значки $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ или $\infty -\infty$.

0/0: разложение на множители и сопряжённое

Разложение: ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$. Мы сократили на $x-3$ — законно, потому что в проколотой окрестности $x\ne 3$ и множитель не ноль.

С корнями работает сопряжённое выражение — тот же приём, что спасал нас в разностях последовательностей.

0/0 со степенями выше второй

Сокращение множителя работает и для кубов — формула разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ встречается в контрольных постоянно. Вот полный разбор:

1. 1
   Подстановка даёт $\frac{0}{0}$ — подставлять нельзя, раскладываем
2. 2
   Числитель: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, знаменатель: $x^2-4=(x-2)(x+2)$
3. 3
   Сокращаем $x-2$ (законно: в проколотой окрестности $x\ne 2$): остаётся $\frac{x^2+2x+4}{x+2}$
4. 4
   Подставляем $x=2$: $\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3$

Заметьте: числитель и знаменатель обнулялись из-за одного и того же корня $x=2$ — это и был тот общий множитель, который исчез. Если после разложения общий множитель не нашёлся, а подстановка снова даёт ноль в знаменателе — проверьте арифметику: где-то потерян корень.

Бесконечность на бесконечность: старшая степень

Для рациональных дробей на бесконечности работает сравнение старших степеней: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2+x}{x^2-5}=3$, потому что оба многочлена растут как $x^2$. Если знаменатель растёт быстрее — предел ноль, если числитель — бесконечность. Подробная таблица приёмов ждёт в шпаргалке по формулам пределов.

Тригонометрические неопределённости $\frac{0}{0}$ — отдельная песня: их раскрывают через замечательные пределы. Тот факт, что $\frac{\sin x}{x}$ прижимается к единице, — первый замечательный предел, и у него есть собственный урок с геометрическим доказательством: замечательные пределы.

Замена переменной — когда корни разных степеней

Ещё один приём, который не всегда доходит из лекций: неудобную переменную можно пересадить на удобную. Возьмём ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ — два корня несовместимы, но у обоих есть общий «предок» — корень шестой степени.

1. 1
   Замена $t=x^{1/6}$: тогда $\sqrt[3]{x}=t^2$, $\sqrt{x}=t^3$, и при $x\to 1$ будет $t\to 1$
2. 2
   Предел превращается в ${\lim }_{t\to 1}\frac{t^2-1}{t^3-1}$ — уже знакомая земля
3. 3
   Разность квадратов и разность кубов: $\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}=\frac{t+1}{t^2+t+1}$
4. 4
   Подставляем $t=1$: $\frac{2}{1+1+1}=\frac{2}{3}$

• Первый ход всегда один — подстановка; неопределённость объявляется только по её факту
• $\frac{0}{0}$ с многочленами — ищите общий множитель, он обязан быть
• $\frac{0}{0}$ с корнями — сопряжённое; с корнями разных степеней — замена $t=x^{1/n}$
• $\frac{\infty }{\infty }$ — делим на старшую степень числителя и знаменателя
• Синус с малым аргументом — первый замечательный предел
• Точка склейки кусочной функции — два односторонних предела, не один

Определение предела по Коши звучит абстрактно, пока его не увидишь. Полосы на графике ниже — это и есть «для любого ε существует δ»: сузьте ε — и подстройте δ так, чтобы кривая не покидала горизонтальную полосу.

Отработать приёмы по одному можно в тренажёре пределов: там подстановка, разложение и старшие степени идут отдельными уровнями. Следующая остановка — два предела, которые математики выучивают как таблицу умножения: замечательные пределы.