Как решать пределы

Предел — первая серьёзная техника матанализа и обязательный номер любой контрольной. Хорошая новость: девять задач из десяти решаются одним и тем же маршрутом — подставить, распознать неопределённость, выбрать приём. Теория с определениями и графиками — в уроке предел функции, здесь только практика: как решать пределы руками и не путаться в значках.

Всё крутится вокруг шести стандартных неопределённостей: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $1^{\infty }$ и $0^0$. Если после подстановки ничего из этого не появилось — задача уже решена. Если появилось — алгоритм ниже подсказывает, какой инструмент брать.

Как решать пределы: алгоритм по шагам#

1. 1
   Подставьте точку $x=a$ прямо в выражение. Получилось конечное число при ненулевом знаменателе — предел найден, дальше делать нечего: функция непрерывна в этой точке.
2. 2
   Вышла неопределённость $\frac{0}{0}$ — раскладывайте числитель и знаменатель на множители (разность квадратов, разность и сумма кубов, вынесение общего множителя), сокращайте «виновника» $x-a$ и подставляйте снова.
3. 3
   Та же $\frac{0}{0}$, но с синусами и тангенсами — в дело идёт первый замечательный предел $\frac{\sin x}{x}\to 1$ и таблица эквивалентностей.
4. 4
   При $x\to \infty$ получилась $\frac{\infty }{\infty }$ — делите числитель и знаменатель на старшую степень: младшие слагаемые вымирают, остаётся отношение старших коэффициентов.
5. 5
   Встретились $0\cdot \infty$ или $\infty -\infty$ — преобразуйте к уже знакомым видам: приведите к общему знаменателю (получится $\frac{0}{0}$), домножьте на сопряжённое выражение или вынесите старшую степень за скобку.
6. 6
   Появилась степень $1^{\infty }$ — работает второй замечательный предел: основание приводится к виду $(1+t)$ с $t\to 0$, а показатель согласуется так, чтобы выйти на число $e$.
7. 7
   Застряли — правило Лопиталя: производные числителя и знаменателя по отдельности. Это запасной ход, а не первый: проверьте, что неопределённость действительно $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$, и перепроверьте ответ эквивалентностями.

Два уточнения, которые экономят баллы. Первое: если в выражении есть модули или $\sqrt{x^2}$, считайте односторонние пределы $x\to a^{-}$ и $x\to a^{+}$ отдельно — они могут не совпасть, и тогда двустороннего предела не существует. Второе: главный ускоритель темы — эквивалентности, запомните хотя бы этот набор:

• $\sin x\sim x$, $\tan x\sim x$, $\arcsin x\sim x$, $\arctan x\sim x$ при $x\to 0$ — все «угловые» бесконечно малые первого порядка
• $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ — косинус отстаёт от единицы на квадрат аргумента
• $e^x-1\sim x$, $\ln (1+x)\sim x$, $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$, $a^x-1\sim x\ln a$

Пример решения предела с пошаговым разбором#

Разберём классику, в которой легко потерять множитель: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$. Пример специально выбран «с двойкой внутри аргумента» — именно на таких вариантах чаще всего срезаются.

1. 1
   Подстановка $x=0$: числитель $1-\cos 0=0$, знаменатель $0$. Неопределённость $\frac{0}{0}$ — идём по алгоритму.
2. 2
   Избавимся от двойного угла: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, значит $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$.
3. 3
   Дробь превращается в $\frac{2{\sin }^{2}x}{x^2}=2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2$ — собрали первый замечательный предел.
4. 4
   Скобка при $x\to 0$ стремится к единице, поэтому ответ: $2\cdot 1^2=2$.
5. 5
   Контрольная проверка Лопиталем: $\frac{(1-\cos 2x{)}^{\prime }}{(x^2{)}^{\prime }}=\frac{2\sin 2x}{2x}=\frac{\sin 2x}{x}\to 2$. Сошлось — решению можно верить.

Общий язык всех неопределённостей $\frac{0}{0}$ — сравнение порядков малости: спрашиваем, кто быстрее убывает к нулю. В примере числитель убывает как $2x^2$, знаменатель — как $x^2$: порядки равны, остаётся отношение коэффициентов. Если числитель убывает быстрее — предел ноль, если медленнее — бесконечность. Эта же логика сидит и в $\frac{\infty }{\infty }$, только там сравниваются скорости роста, и решение всегда у старших степеней.

Куда дальше: строгая теория — в уроке предел функции, все формулы на одном листе — в шпаргалке по пределам, набить руку — в тренажёре пределов. Термин предел разобран в словаре, а соседний разбор как решать производные понадобится сразу после зачёта: производная определяется через предел.