Как решать неравенства

Неравенство отвечает не числом, а множеством — и именно поэтому решается другим инструментом, чем уравнение. Корней у функции мало, а интервалов знакопостоянства много, и главный метод темы — метод интервалов: он закрывает квадратные, дробно-рациональные и любые неравенства с многочленами. Теоретическая база (непрерывность и смена знака) — в уроке непрерывность и разрывы, здесь — практика.

Идея метода прозрачна: пока функция непрерывна, её знак может измениться только при переходе через нуль или точку разрыва. Значит, достаточно отметить все «подозрительные» точки на оси и узнать знак в одном-единственном месте каждого интервала — остальное он унаследует. Вся строгость решения сводится к вопросу, включать ли концы: знак $<$ или $>$ даёт круглые скобки, $le$ или $ge$ — квадратные.

Как решать неравенства: алгоритм по шагам#

1. 1
   Перенесите всё влево, справа оставьте ноль: $f(x)>0$ или $f(x)\ge 0$. Если справа была дробь — соберите всё в одну дробь с общим знаменателем. Решение «в обе стороны» — главный источник потерянных случаев.
2. 2
   Разложите числитель и знаменатель на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, корни квадратного трёхчлена через дискриминант (помощник — термин квадратное уравнение).
3. 3
   Найдите нули числителя и нули знаменателя. Нули знаменателя выкалываются всегда — в этих точках дробь не определена; нули числителя включаются в ответ только при нестрогих знаках $le$ и $ge$.
4. 4
   Отметьте все точки на числовой оси: пустой кружок — выколотая точка, закрашенный — входит в ответ.
5. 5
   Определите знак на крайнем правом интервале подстановкой большого числа: все множители при этом положительны, и знак равен знаку старшего коэффициента.
6. 6
   Расставьте знаки по остальным интервалам: переход через корень нечётной кратности меняет знак, через корень чётной кратности — сохраняет. Классика: $(x-1{)}^2$ знак не перекрашивает, $(x-1{)}^3$ — перекрашивает.
7. 7
   Выберите интервалы с нужным знаком: плюс для $>$ и $ge$, минус для $<$ и $le$. Соберите ответ, помня о строгости: нули знаменателя не попадают в ответ никогда.
8. 8
   Система неравенств решается по очереди: каждое — методом интервалов, затем ответы пересекаются на одной оси. Финальная проверка — по одной точке из каждого интервала ответа.

Два частых дополнения к алгоритму. Модуль: $|f(x)|<a$ равносильно двойному неравенству $-a<f(x)<a$, а $|f(x)|>a$ — совокупности $f(x)<-a$ или $f(x)>a$; при нескольких модулях раскрывайте по определению с разбиением на случаи — и снова метод интервалов. Иррациональность: возводить обе части в чётную степень можно только убедившись, что они неотрицательны, — иначе появляется лишний интервал.

Пример решения неравенства методом интервалов#

Разберём дробно-рациональное неравенство $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0$ — типовой «средний» случай: множители уже разложены, но точек на оси три, и одна из них — разрыв.

1. 1
   Переносить нечего: неравенство уже вида $f(x)>0$. Нули числителя: $x=1$ и $x=-2$ (корни простые); нуль знаменателя $x=3$ — точка разрыва, выколота при любой строгости.
2. 2
   Неравенство строгое — все три точки пустые кружки: $-2$, $1$, $3$.
3. 3
   Крайний правый интервал $(3;+\infty )$: подставим $x=4$: $\frac{3\cdot 6}{1}=18>0$ — знак плюс.
4. 4
   Движемся влево: каждый простой корень и разрыв меняют знак. Через $x=3$ — на $(1;3)$ минус, через $x=1$ — на $(-2;1)$ плюс, через $x=-2$ — на $(-\infty ;-2)$ минус.
5. 5
   Контрольная точка $x=0$: $\frac{(-1)\cdot 2}{-3}=\frac{2}{3}>0$ — плюс на $(-2;1)$ подтверждён.
6. 6
   Нужен плюс: $x\in (-2;1)\cup (3;+\infty )$. Точки $-2$ и $1$ не включены из-за строгости, $x=3$ к тому же не определён.

Почему нельзя просто умножить всё на $x-3$? Потому что знак знаменателя сам неизвестен: при $x>3$ знак неравенства сохранится, при $x<3$ перевернётся, а при $x=3$ умножение вообще незаконно. Вместо разбора трёх случаев существует равносильный переход:

Куда дальше: формулы для разложения на множители — в шпаргалке по формулам сокращённого умножения, парабола и её корни — в термине квадратное уравнение. Тот же метод интервалов расставляет знаки производной: об этом разбор как исследовать функцию и построить график, урок исследование функций и построение графиков и соседний разбор как найти экстремумы функции.