Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — уравнение $a{x}^2+bx+c=0$, где $a\ne 0$. Это самая важная формула школьной алгебры, и у неё есть геометрическая душа: корни уравнения — точки, где парабола $y=a{x}^2+bx+c$ пересекает ось $x$. Проверим на живом примере: $x^2-5x+6=0$. Разложим в произведение $(x-2)(x-3)$ — корни $2$ и $3$, и действительно $2+3=5$, $2\cdot 3=6$.

Число $D=b^2-4ac$ — дискриминант — принимает решение за вас: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один (двойной), $D<0$ — вещественных корней нет, парабола ось не пересекает. Теорема Виета в правой части формулы — инструмент устного счёта: подберите два числа с заданной суммой и произведением, и корни у вас в кармане без дискриминанта. А форма $a(x-x_0{)}^2+y_0$ (выделение полного квадрата) показывает вершину параболы и напрямую работает в высшей математике — например, при приведении к каноническому виду в уроке о кривых второго порядка.

Выделение полного квадрата опирается на формулы сокращённого умножения — держите под рукой шпаргалку. Дальнейшая жизнь квадратного трёхчлена — это функция и её исследование: вершина, нули, знак коэффициента $a$.

Полный цикл: $2x^2-7x+3=0$. Дискриминант $D=49-24=25$, корень $\sqrt{D}=5$, корни $x=\frac{7\pm 5}{4}$ — это $3$ и $0.5$. Проверка Виетом: сумма $3.5=\frac{7}{2}$, произведение $1.5=\frac{3}{2}$ — сошлось.

Неполные уравнения решаются без дискриминанта: в $x^2-9=0$ переносим и извлекаем корень ($x=\pm 3$), в $x^2-5x=0$ выносим $x$ ($x=0$ или $x=5$). Выделение полного квадрата показывает вершину: $x^2-6x+5=(x-3{)}^2-4$ — вершина $(3;-4)$. Привычка проверять корни подстановкой занимает десять секунд и отлавливает все арифметические промахи до того, как они уйдут в следующий пункт решения.