Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола

Разрежьте конус наискось — и в сечении появится овал, который древние греки назвали эллипсом. Разрежьте иначе — получите параболу или гиперболу. Эти три кривые называют кривыми второго порядка, и они окружают нас плотнее, чем кажется: планеты ходят по эллипсам, прожекторы фокусируют свет параболой, а навигация по разности времени прихода сигнала строится на гиперболах. В аналитической геометрии у каждой такой кривой есть уравнение — и это уравнение рассказывает о кривой всё: где её фокусы, насколько она вытянута и куда уходят её ветви.

Одно семейство — три кривые#

Кривой второго порядка называется линия, задаваемая уравнением второй степени относительно $x$ и $y$:

Здесь $A,B,C,D,E,F$ — числа, и хотя бы одно из $A,B,C$ не ноль (иначе уравнение стало бы линейным и описывало бы прямую). Среди всех таких уравнений «настоящие» кривые — три: эллипс, гипербола и парабола. Вырожденные случаи — пара пересекающихся прямых, одна прямая, точка или пустое множество — тоже формально отвечают уравнениям второй степени, но их отбрасывают как «испорченные».

Как по коэффициентам понять, с чем имеем дело? Вычислите величину $B^2-4AC$ — она не меняется при повороте и сдвиге осей:

• $B^2-4AC<0$ — эллиптический тип (эллипс; частный случай при $A=C$ и $B=0$ — окружность)
• $B^2-4AC=0$ — параболический тип (парабола)
• $B^2-4AC>0$ — гиперболический тип (гипербола или пара пересекающихся прямых)

Если слагаемого $Bxy$ нет, всё ещё проще: посмотрите на знак произведения $AC$. При $AC>0$ — эллипс или окружность, при $AC<0$ — гипербола, при $AC=0$ (ровно одно из $A,C$ равно нулю) — парабола. Дальше будем работать с каноническими уравнениями — самыми простыми формами, к которым любая кривая приводится переносом начала координат в центр и поворотом осей.

Эллипс: растянутая окружность с двумя фокусами#

Эллипс — множество точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна. Возьмите нитку длиной $2a$, приколите её концы к двум гвоздям $F_1$ и $F_2$, натяните карандашом — карандаш прочертит эллипс. Именно поэтому определение иногда называют «правилом нитки и гвоздей». Единственное ограничение: нитка длиннее расстояния между гвоздями, то есть $2a>2c$.

Расшифруем каждую букву. $a$ — большая полуось: точка $(a,0)$ — самая далёкая от центра точка эллипса. $b$ — малая полуось, отвечающая за вертикальную «толщину». Фокусы сидят на большой оси в точках $(\pm c,0)$, где $c$ связано с полуосями теоремой Пифагора: $c^2=a^2-b^2$. Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна $2a$ — той же нитке. Если $a=b$, то $c=0$, фокусы сливаются в центр и эллипс становится окружностью радиуса $a$.

1. 1
   Дано: $a=5$, эксцентриситет $e=0.6$. Найдём фокальное расстояние: $c=a\cdot e=3$
2. 2
   Малая полуось: $b^2=a^2-c^2=25-9=16$, значит $b=4$
3. 3
   Каноническое уравнение: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, фокусы $(\pm 3,0)$
4. 4
   Директрисы: $x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{25}{3}\approx \pm 8.33$ — заметно дальше вершины $(5,0)$

Гипербола: разность вместо суммы#

Гипербола устроена зеркально: это множество точек, для которых постоянна модуль разности расстояний до двух фокусов. Разность, а не сумма — и именно поэтому кривая распадается на две ветви: точка либо ближе к левому фокусу, либо к правому, одновременно быть «ближе к обоим» нельзя. Точное определение: $|r_1-r_2|=2a$, причём теперь $2a<2c$ — разность расстояний не может превышать расстояние между фокусами.

Смысл букв прежний: $a$ — действительная полуось (ветви пересекают ось $Ox$ в точках $\pm a$), $b$ — мнимая. Обратите внимание на смену знака в связи: теперь $c^2=a^2+b^2$, то есть $c>a$ — фокусы всегда дальше вершин. Отсюда и эксцентриситет $e=c/a>1$: у гиперболы он никогда не опускается ниже единицы.

Самая узнаваемая черта гиперболы — асимптоты: две прямые $y=\pm \frac{b}{a}x$, к которым ветви прижимаются на бесконечности, но никогда не пересекают. Геометрический рецепт: проведите через вершины $(\pm a,0)$ и $(0,\pm b)$ вспомогательный прямоугольник — его диагонали и есть асимптоты. Подробнее о том, что такое асимптота и как её находить для произвольной функции, — в исследовании функций.

1. 1
   Уравнение: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ — ветви открываются влево и вправо
2. 2
   Фокальное расстояние: $c^2=9+16=25$, фокусы $(\pm 5,0)$
3. 3
   Эксцентриситет: $e=c/a=5/3\approx 1.67$; директрисы $x=\pm a/e=\pm 1.8$
4. 4
   Асимптоты: $y=\pm \frac{4}{3}x$ — диагонали прямоугольника $6\times 8$

Парабола: один фокус и одна директриса#

Парабола — множество точек, равноудалённых от фокуса и от директрисы. Фокус у неё один, директриса одна, центра нет вовсе. Каноническое уравнение с вершиной в начале координат и осью вдоль $Ox$:

Число $p$ — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Фокус находится в точке $(p/2,0)$, директриса — вертикальная прямая $x=-p/2$. Проверьте определение сами: для точки $(x,y)$ расстояние до фокуса равно $\sqrt{(x-p/2{)}^2+y^2}$, а до директрисы — $x+p/2$. Приравняйте их квадраты и сократите — останется ровно $y^2=2px$. Квадратное расстояние сходится к квадратному расстоянию, лишнее вычитается — красота.

Знак при $y^2$ задаёт направление ветвей: $y^2=2px$ — вправо, $y^2=-2px$ — влево, $x^2=2py$ — вверх, $x^2=-2py$ — вниз. А форма $x^2=4qy$ — это то же уравнение с $p=2q$: фокус в $(0,q)$, директриса $y=-q$. Именно в таком виде параболу удобно видеть на графике обычной функции: график $y=a{x}^2$ — парабола с $q=\frac{1}{4a}$, и при $a\to \infty$ её фокус прижимается к вершине.

Директрисы и эксцентриситет: единая точка зрения#

Три определения выше выглядят тремя разными способами, но за ними стоит одно правило. Возьмём точку $F$ (фокус) и прямую $d$ (директрису) и зафиксируем число $e$. Множество точек $M$, для которых отношение расстояний

есть кривая второго порядка, причём тип определяется именно значением $e$: при $e<1$ получается эллипс, при $e=1$ — парабола, при $e>1$ — гипербола. Число $e$ и называется эксцентриситетом. У параболы отношение равно единице по самому определению — потому у неё и «своё» уравнение. У эллипса и гиперболы директрисы — вертикальные прямые $x=\pm a/e$: у эллипса они лежат за пределами кривой ($a/e>a$), у гиперболы — между центром и вершинами ($a/e<a$).

Эксцентриситет — это безразмерная «степень сплюснутости». Окружность: $e=0$, идеальная круглость. Орбита Земли: $e\approx 0.017$, почти круг. Орбита кометы Галлея: $e\approx 0.97$ — вытянутый эллипс, у которого Солнце сидит в одном из фокусов (первый закон Кеплера). Так одно число кодирует весь характер траектории — от круга до почти убегающей кометы.

Как привести уравнение к каноническому виду#

Типовой экзаменационный вопрос: дано уравнение со слагаемыми $x$, $y$ и свободным членом — определить кривую и её параметры. Алгоритм короткий:

1. 1
   Соберите слагаемые с $x$ и слагаемые с $y$ в две группы
2. 2
   Выделите полный квадрат в каждой группе (пригодится шпаргалка по формулам сокращённого умножения)
3. 3
   Разделите обе части на правый множитель и сравните с канонической формой из таблицы выше

Разберём на живом примере: $x^2+4y^2-2x-24y+33=0$. Коэффициент при $Bxy$ отсутствует, $AC=4>0$ — ждали эллипс. Группируем: $(x^2-2x)+4(y^2-6y)+33=0$. Выделяем квадраты: $(x-1{)}^2-1+4\left[(y-3{)}^2-9\right]+33=0$. Переносим константы вправо: $(x-1{)}^2+4(y-3{)}^2=4$. Делим на 4 — и каноническая форма на столе:

Это эллипс с центром $(1,3)$, полуосями $a=2$ (вдоль $Ox$) и $b=1$, фокальным расстоянием $c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ и эксцентриситетом $e=\sqrt{3}/2\approx 0.87$. Всё, что требуется дальше, — выписать фокусы $(1\pm \sqrt{3},3)$ и директрисы $x=1\pm a/e\approx 1\pm 2.31$.