Число π

Число $\pi$ — отношение длины окружности к её диаметру, одно и то же для любой окружности во вселенной: $3.1415926535\dots$ Дробь бесконечна и непериодична — никакая таблица не уместит её целиком. Школьное приближение $\frac{22}{7}\approx 3.1429$ дал Архимед ещё в III веке до нашей эры, вписывая и описывая многоугольники вокруг окружности.

Два свойства подняли $\pi$ из геометрии в философию математики. Оно иррационально (доказал Ламберт в 1761 году): не записывается никакой дробью с целыми числителем и знаменателем. И оно трансцендентно (Линдеман, 1882): не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Отсюда мгновенный вердикт по древней задаче о квадратуре круга — циркулем и линейкой её решить невозможно.

Парадокс $\pi$ в том, что оно всплывает там, где никаких окружностей не видно. В формуле нормального распределения — знаменитого колокола теории вероятностей (см. нормальное распределение). В ряде Лейбница $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$ В формуле Эйлера $e^{i\pi }+1=0$, связывающей пять главных констант. Погружаться лучше с карты под названием единичная окружность и со шпаргалкой тригонометрических формул; тренировка значений — в тренажёре тригонометрии.

Знаки стоит знать хотя бы до десятого: $\pi \approx 3.1415926535$. Любопытно, как по-разному $\pi$ добывается: ряд Лейбница сходится мучительно (сотня слагаемых — два верных знака), а современные алгоритмы откусывают миллиарды знаков за часы. В практике $\pi$ чаще работает молча: сидит в формулах длины, площади и объёма ($V=\frac{4}{3}\pi R^3$ для шара).

Полезные округления: для прикидки — $3.14$, для инженерных расчётов — $3.1416$, дробь $\frac{355}{113}$ даёт шесть верных знаков и легко запоминается парами цифр $113355$. Из геометрии число перекочевало в механику: период малых колебаний маятника $T=2\pi \sqrt{l/g}$ содержит $\pi$ через окружность, которую описывает груз. И в тригонометрии вся разметка углов идёт в долях $\pi$ — от $\frac{\pi }{6}$ до $2\pi$ на полном обороте.