Единичная окружность

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Зачем она? Затем, что превращает всю тригонометрию в одну картинку. Возьмите точку на окружности и проведите из центра радиус под углом $t$ к оси $x$. Координаты этой точки — и есть косинус и синус: $(\cos t;\sin t)$. Никаких заученных таблиц — любая точка читается по рисунку. Угол в радианах при этом честно равен длине пройденной дуги.

Проверим на конкретном угле: $t=\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$) — точка $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$. Значит $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Тангенс — отношение координат: $\mathrm{tg}t=y/x$. Полный оборот — $2\pi$, поэтому функции периодичны: точка на $210^{\circ }$ — это зеркальный сдвиг точки на $30^{\circ }$ в третью четверть, знаки меняются, модули нет. Чётность тоже видна на глаз: точка $-t$ симметрична $t$ относительно оси $x$, отсюда $\sin (-t)=-\sin t$.

На окружности мгновенно проверяются все тождества из шпаргалки тригонометрических формул — например, ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ читается с неё как уравнение самой окружности. Автоматизировать значения стандартных углов поможет тренажёр тригонометрии, а причастность $\pi$ к этой карте — статья число π.

Как читать незнакомый угол? Разложите на опорные. $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }$: точка в третьей четверти, обе координаты отрицательны, модули — от $45^{\circ }$, то есть $\cos 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Знаки по четвертям — своя мини-шпаргалка: положительны в первой все, во второй — синус, в третьей — тангенс, в четвёртой — косинус; всё остальное отрицательно. Школьная фраза «все, синус, тангенс, косинус» хранит именно этот порядок. Точки на осях — самые частые гости уравнений: при $t=0$ точка $(1;0)$, при $\frac{\pi }{2}$ — $(0;1)$, при $\pi$ — $(-1;0)$. Из них мгновенно читаются $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ и все нули синуса и косинуса — их спрашивают в первую очередь.