📈 Матанализ

Однородное тригонометрическое уравнение

Q: Почему однородное уравнение не имеет корня cos x = 0?

Потому что при $\cos x = 0$ основное тождество даёт $|\sin x| = 1$, и каждое слагаемое однородного уравнения содержит множитель $\cos x$ в своей степени — все слагаемые нулевые… точнее, слагаемые с синусом остаются. Для первой степени: $a\sin x = \pm a \ne 0$, если $a \ne 0$. Значит, равенство не выполняется — корней среди $\cos x = 0$ нет, и деление не теряет решений.

англ. Homogeneous trigonometric equation

Уравнение из слагаемых одной суммарной степени: a·sin x + b·cos x = 0 (первая) или a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 (вторая); решается делением на степень косинуса.

Однородное уравнение собрано из слагаемых одной суммарной степени: $a sin x + b cos x = 0$ — первая степень, $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0$ — вторая. Приём единый: деление на соответствующую степень косинуса переводит уравнение в тангенсы. Первая степень: $a tg x + b = 0$ , то есть $tg x = - \frac{b}{a}$ . Вторая: $a tg^{2} x + b tg x + c = 0$ — квадратное относительно тангенса.

Правомерность деления — отдельный шаг: случай $cos x = 0$ проверяется подстановкой до деления. В однородном уравнении без свободного члена $cos x = 0$ превращает его в $a sin^{2} x = 0$ , то есть $sin x = 0$ тоже — одновременно оба нуля невозможны ( $sin^{2} + cos^{2} = 1$ ), значит $cos x = 0$ не корень, и деление безопасно. Пример второй степени: $sin^{2} x - 3 sin x cos x + 2 cos^{2} x = 0$ после деления даёт $tg^{2} x - 3 tg x + 2 = 0$ , кандидаты $tg x = 1, 2$ , серии $\frac{π}{4} + π k$ и $arctg 2 + π k$ . Проверка через основное тождество: в точке $x = \frac{π}{4}$ имеем $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ — сошлось.

a sin x + b cos x = 0 \Rightarrow tg x = - \frac{b}{a}; a tg^{2} x + b tg x + c = 0

сведение к тангенсу для первой и второй степеней

Частые вопросы

Почему однородное уравнение не имеет корня cos x = 0?

Потому что при $cos x = 0$ основное тождество даёт $∣ sin x ∣ = 1$ , и каждое слагаемое однородного уравнения содержит множитель $cos x$ в своей степени — все слагаемые нулевые… точнее, слагаемые с синусом остаются. Для первой степени: $a sin x = \pm a \neq = 0$ , если $a \neq = 0$ . Значит, равенство не выполняется — корней среди $cos x = 0$ нет, и деление не теряет решений.

Чем однородное отличается от уравнения с свободным членом?

Свободный член $d$ имеет «нулевую степень» и ломает однородность: деление на $cos^{2} x$ оставит $\frac{d}{c o s ^{2} x}$ — не выразить через тангенс. Такие уравнения решаются вспомогательным углом (первая степень) или понижением степени (вторая). Диагностика: посмотрите, все ли слагаемые одной суммарной степени.