Метод вспомогательного угла: a·sin x + b·cos x = c

Смешанное уравнение $a\sin x+b\cos x=c$ не сводится к простейшему ни делением, ни основным тождеством — синус и косинус сидят в одной строке с разными коэффициентами. Метод вспомогательного угла упаковывает всю левую часть в один сдвинутый синус: $a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi )$. После упаковки остаётся простейшее уравнение. Этот приём — стандарт и в задании 13 ЕГЭ, и в теории колебаний: любое гармоническое колебание можно записать как один синус с амплитудой и фазой.

Идея метода одной строкой#

Почему так можно? Разделите оба коэффициента на $R=\sqrt{a^2+b^2}$: получится $\frac{a}{R}\sin x+\frac{b}{R}\cos x$. Два новых множителя в сумме дают $\frac{a^2+b^2}{R^2}=1$ — значит, они законно играют роль $\cos \phi$ и $\sin \phi$ одного угла. Тогда левая часть — это развёрнутая формула синуса суммы: $\sin (x+\phi )=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$. Никакой магии — теорема Пифагора плюс формула сложения.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Посчитайте амплитуду $R=\sqrt{a^2+b^2}$ — это максимум левой части.
2. 2
   Проверьте условие существования: $|c|\le R$. Если правая часть больше амплитуды — решений нет.
3. 3
   Разделите уравнение на $R$: $\sin (x+\phi )=\frac{c}{R}$, где $\phi$ определяется парой $\cos \phi =\frac{a}{R}$, $\sin \phi =\frac{b}{R}$.
4. 4
   Решите простейшее уравнение: $x+\phi =(-1{)}^k\arcsin \frac{c}{R}+\pi k$.
5. 5
   Верните $x$ и упростите; для типовых углов $\phi$ ($\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$) серии сворачиваются красиво.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $\sin x+\cos x=1$. Амплитуда $R=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Правая часть один, условие $1\le \sqrt{2}$ выполнено — решения есть. Делим: $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Оба множителя равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это $\cos \frac{\pi }{4}$ и $\sin \frac{\pi }{4}$, значит $\phi =\frac{\pi }{4}$. Левая часть складывается в $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Простейшее уравнение: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Серия: $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+\pi k$. При чётных $k$: $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n$, то есть $x=2\pi n$. При нечётных: $x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$, то есть $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Ответ: $x=2\pi n$ и $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Проверка: при $x=0$ слева $0+1=1$; при $x=\frac{\pi }{2}$ слева $1+0=1$. Оба подходят. Именно эту цепочку — амплитуда, фаза, серия, две ветки — воспроизводит решатель тригонометрических уравнений в режиме вспомогательного угла.

Вместо вычисления $\phi$ через арктангенс полезно держать в голове таблицу типовых пар: если коэффициенты равны, $\phi =\frac{\pi }{4}$; если перед синусом $\sqrt{3}$ и перед косинусом $1$, то $\phi =\frac{\pi }{3}$; наоборот — $\frac{\pi }{6}$. Распознавание пары экономит минуту и снижает шанс арифметической ошибки в арктангенсе.

Что говорит амплитуда о числе корней#

Амплитуда $R$ — это максимум левой части при любом $x$: синус и косинус никогда не дают больше. Отсюда мгновенный вердикт для «страшных» уравнений: увидели $2\sin x+3\cos x=7$ — посчитали $\sqrt{13}\approx 3,6<7$ — и ответ «решений нет» готов без всяких преобразований. Оценка сверху экономит время и в задачах с параметром.

Типовые ошибки#

• Считать амплитуду как $a+b$. Амплитуда — квадратный корень из суммы квадратов: для единичных коэффициентов это $\sqrt{2}$, а не $2$.
• Перепутать φ и −φ. Знак фазы берётся из коэффициентов: перед косинусом минус — значит $\sin \phi <0$, фаза отрицательна.
• Делить на R, забыв правую часть. Делится всё уравнение целиком: $\frac{c}{R}$ появляется справа, и простейшее уравнение строится уже для неё.
• Не заметить случай $|c|>R$ и тянуть решение. Одна проверка в начале отрезает бессмысленную работу — амплитуда считается за пять секунд.