Задание 13 ЕГЭ по математике (профиль): тригонометрические уравнения — разбор с примерами

Тринадцатый номер открывает вторую часть, и здесь впервые появляется буква $n$ в ответе. Два пункта: а) решить уравнение — обычно квадратное относительно синуса, косинуса или тангенса; б) отобрать корни на заданном отрезке. Два первичных балла: один за пункт а, один за пункт б. Отбор корней — то место, где разница между «понял тригонометрию» и «знаю формулы» становится видимой.

Формулы — в шпаргалке тригонометрических формул, значения стандартных углов — на тренажёре тригонометрии. Здесь — механика: как из квадратного уравнения собрать серии и как честно перебрать их по отрезку.

Ловушки тринадцатого номера#

• Потерянные серии: уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт две серии, а не одну. Вторая серия ($\pi -x_0$) теряется чаще первой.
• Период $2\pi$ вместо $\pi$ у тангенса: $\mathrm{tg}x=a$ имеет решения $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$, без удвоения.
• Отбор «на глаз» без перебора: серия перебирается подстановкой $n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ с проверкой попадания в отрезок.
• Деление на косинус в однородном уравнении: теряется серия, где косинус нулевой. Сначала проверьте этот случай отдельно.
• Посторонние корни после возведения в квадрат или замены: если новая переменная ограничена ($t=\sin x\in [-1;1]$), корни вне ограничения вычёркиваются.

Алгоритм решения#

1. 1
   Приведите к одной функции: замена $t=\sin x$, $t=\cos x$ или $\mathrm{tg}x$. Для однородных уравнений вынесите общий множитель.
2. 2
   Учтите ограничение переменной: $-1\le t\le 1$ для синуса и косинуса. Корни вне — сразу вон.
3. 3
   Решите квадратное уравнение относительно $t$.
4. 4
   Для каждого допустимого $t$ выпишите ВСЕ серии: $x=\pm x_0+2\pi n$ для косинуса, $x=x_0+2\pi n$ и $x=\pi -x_0+2\pi n$ для синуса.
5. 5
   Пункт б): переберите $n=0,\pm 1,\pm 2$ для каждой серии и отберите значения, попавшие в отрезок.
6. 6
   Проверьте отбор по окружности: точка обязана лежать на дуге отрезка. Дуга длиннее $2\pi$ — период повторится, учтите это.
7. 7
   Запишите ответ: пункт а) сериями, пункт б) точным перечислением корней на отрезке.

Пример 1. Квадратное уравнение относительно синуса#

Условие (пункт а): решите уравнение $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$. Замена $t=\sin x$, ограничение $-1\le t\le 1$:

Для $t=\frac{1}{2}$ две серии: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$. Для $t=1$ одна: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Ответ пункта а) — три серии. Ошибаются, объединяя $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$ в одну запись «через плюс-минус» — для синуса это неверно: симметрия у синуса не относительно нуля.

Пример 2. Отбор корней на отрезке#

Условие (пункт б): для уравнения $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$ отберите корни на отрезке $[\pi ;3\pi ]$. Полный перебор — в интерактиве выше; итоговая картина на окружности: дуга от $\pi$ до $3\pi$ — нижняя полуокружность плюс повторение, на ней сидят четыре точки.

Второй способ отбора — через тригонометрические неравенства: решите $\pi \le \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\le 3\pi$ относительно $n$ и выпишите целые решения. Кто дружит с окружностью — перебирает, кто с неравенствами — решает двойное неравенство. Оба способа дают один ответ; выбирайте тот, где меньше шансов потерять знак.

Чек-лист самопроверки#

• Замена введена явно, ограничение на $t$ учтено.
• Для синуса выписаны обе серии, для косинуса — плюс-минус, для тангенса — период $\pi$.
• Каждая серия перебрана по $n$ с проверкой попадания в отрезок.
• Границы отрезка проверены на включённость.
• Ответ пункта а) — серии с $n$, ответ пункта б) — конкретные значения.

Следующее задание второй части — неравенства: задание 15 с логарифмами и методом рационализации. Значения на окружности автоматизируйте в тренажёре тригонометрии.

Отбор корней: две технологии#

После решения уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$ получается семейство $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$. Если отрезок задан, например $[\pi ;2\pi ]$, есть два равноценных пути отбора. Первый — подстановки границ в каждое семейство с оценкой целого $n$: для первого семейства $\pi \le \frac{\pi }{6}+2\pi n\le 2\pi$ даёт $n=1$ и корень $\frac{13\pi }{6}$. Второй — тригонометрическая окружность: закрашиваем дугу от $\pi$ до $2\pi$ и смотрим, какие точки семейств на неё попали; для второй серии это $\frac{5\pi }{6}$ — вне дуги, ответ один. Графический отбор быстрее и надёжнее на экзамене, но аналитический проще проверить переподстановкой, поэтому на черновике полезны оба.

Двойное неравенство: полный разбор с косинусом#

Решим уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и отберём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ методом двойного неравенства. Решение уравнения стандартное: точка $\frac{\pi }{6}$ на окружности и её зеркало дают две серии $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$, и обе обязаны дойти до отбора. Идея метода: подставить каждую серию между границами отрезка и потребовать, чтобы двойное неравенство выполнялось при целом $n$. Серии проверяются по очереди — пропуск любой из них обнуляет ответ пункта б).

Первая серия: $\pi \le \frac{\pi }{6}+2\pi n\le \frac{5\pi }{2}$. Вычитаем $\frac{\pi }{6}$ из всех частей: $\frac{5\pi }{6}\le 2\pi n\le \frac{14\pi }{6}$. Делим на $2\pi$: $\frac{5}{12}\le n\le \frac{7}{6}$ — единственное целое здесь $n=1$, серия даёт корень $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$. Вторая серия: $\pi \le -\frac{\pi }{6}+2\pi n\le \frac{5\pi }{2}$; после вычитания $\frac{7\pi }{6}\le 2\pi n\le \frac{8\pi }{3}$, то есть $\frac{7}{12}\le n\le \frac{4}{3}$ — снова единственное целое $n=1$ и корень $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$. Численная проверка попадания: $\frac{11\pi }{6}\approx 5,76$ и $\frac{13\pi }{6}\approx 6,81$ лежат между $\pi \approx 3,14$ и $\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$.

Ответ пункта б): $\frac{11\pi }{6}$ и $\frac{13\pi }{6}$. Подстановка занимает секунды: косинус чётен, поэтому $\cos \frac{11\pi }{6}=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\frac{13\pi }{6}$ отличается от $\frac{\pi }{6}$ ровно на период. Двойное неравенство ценно ещё и тем, что честно показывает пустой случай: если целых $n$ в границах не оказалось, серия не даёт корней, и это законный результат отбора, а не потеря. Кстати, длину отрезка полезно оценить заранее: здесь она равна $\frac{3\pi }{2}$ — меньше периода $2\pi$, поэтому каждая серия с шагом $2\pi$ даёт не более одного корня, и двойное неравенство это лишь подтверждает: целое $n$ в границах единственно.