Тригонометрические уравнения онлайн — решение по шагам
Тригонометрическое уравнение ищет углы по известному значению синуса, косинуса или их комбинации. Решатель берёт два главных типа: уравнения вида a·sin²x + b·sin x + c = 0, сводящиеся к квадратному заменой t = sin x, и смешанные a·sin x + b·cos x = c методом вспомогательного угла. В ответе — общие решения с периодом.
Решатель тригонометрических уравнений
Выберите режим и введите коэффициенты. В режиме вспомогательного угла решатель посчитает амплитуду R = √(a² + b²), проверит условие |c| ≤ R и свернёт левую часть в сдвинутый синус. В режиме квадратного — решит трёхчлен по t и отберёт кандидаты по барьеру |t| ≤ 1.
Уравнение: 1·sin(x) + 1·cos(x) = 1. Ответ выдаётся серией с целым n — так записывают общее решение тригонометрического уравнения. Дроби пишите через точку или запятую.
Три типа тригонометрических уравнений
Определите тип — от него зависит первый шаг. Каждый тип разобран на отдельной странице с алгоритмом, примерами и типовыми ошибками:
Простейшие тригонометрические уравнения: sin x = a, cos x = a
Как решить простейшее тригонометрическое уравнение sin x = a и cos x = a.
Разобранный пример и алгоритмМетод вспомогательного угла: a·sin x + b·cos x = c
Как решить уравнение a·sin x + b·cos x = c методом вспомогательного угла.
Разобранный пример и алгоритмСведение тригонометрического уравнения к квадратному
Уравнения вида a·sin²x + b·sin x + c = 0.
Разобранный пример и алгоритм
Разобранный пример: вспомогательный угол
Смешанное уравнение из контрольной — решаем тем же порядком, что и решатель:
Амплитуда и проверка условия разрешимости:
Делим всё уравнение на R. Коэффициенты превращаются в пару √2/2 — это косинус и синус угла π/4:
Простейшее уравнение и серия:
Чётные k дают одну ветку, нечётные — вторую. После вычитания π/4:
Проверка обеих веток подстановкой:
Ответ: x = 2πn и x = π/2 + 2πn, n ∈ ℤ. Обе серии — точки, где прямая пересекает график левой части.
Что говорит амплитуда ещё до решения
Левая часть a·sin x + b·cos x никогда не превышает R = √(a² + b²). Одна проверка в начале экономит всю работу:
| Сравнение |c| и R | Вердикт | Сколько серий в ответе |
|---|---|---|
| |c| < R | решения есть | две серии |
| |c| = R | касание — решения есть | одна серия |
| |c| > R | решений нет | — |
Пример мгновенного вердикта: в уравнении 2 sin x + 3 cos x = 7 амплитуда √13 ≈ 3,6 меньше семи — решений нет, и никакие преобразования не нужны. Этот приём работает и в задачах с параметром, где вопрос «при каких a уравнение имеет решения» отвечается сравнением параметра с амплитудой.
Алгоритм решения за 30 секунд
1. Определите тип
Одна функция в квадрате и первой степени — замена t = sin x (или cos x). Синус и косинус в первой степени с коэффициентами — вспомогательный угол.
2. Проверьте условие существования
|a| ≤ 1 для простейших, |c| ≤ R для смешанных. Провал проверки — ответ «решений нет» сразу, без выкладок.
3. Алгебра
Квадратное уравнение по t с отбором |t| ≤ 1 — либо свёртка в sin(x + φ) = c/R.
4. Серия корней
Для каждого выжившего t запишите серию через (−1)^k, ±arccos или arctan с правильным периодом: π у синуса и тангенса, 2π у косинуса.
5. Контроль
Подставьте k = 0 и k = 1 в серию и проверьте равенство — это ловит и арифметику, и перепутанный период.
Частые ошибки
- Написать период 2π у синуса. Серия синуса шагает по π: две точки на окружности чередуются через пол-оборота, множитель (−1)^k их переключает.
- Забыть «минус-плюс» у арккосинуса. Косинус симметричен относительно горизонтальной оси: без ± теряется половина корней.
- Принять кандидата t за барьером. Синус не бывает равен двум — кандидат t = 2 из квадратного уравнения обязан быть отброшен, а не «решён».
- Делить уравнение на sin x. Так теряется серия sin x = 0; выносите общий множитель и разбирайте оба сомножителя.
- Оставить серию там, где требуется отбор на отрезке. Серия отвечает на вопрос «все корни», отрезок — на вопрос «какие из них попали в промежуток».
Частые вопросы
Почему в ответе тригонометрического уравнения бесконечно много корней?
Синус и косинус периодичны: угол и угол плюс полный оборот дают одно и то же значение функции. Поэтому корни повторяются через период 2π (или π у тангенса), и ответ записывают серией с целым параметром k или n. Отбор конкретных корней делают только когда в задаче задан отрезок.
Что решает этот решатель и что делать со сложными уравнениями?
Решатель берёт два типа: простейшие-подобные через сведение к квадратному t = sin x (или t = cos x) и смешанные a·sin x + b·cos x = c через вспомогательный угол. Уравнения с двойными углами, произведениями и отбором корней разобраны на посадочных страницах методов — там алгоритмы для ручного счёта.
Как понять, что решений нет?
Два признака. Первый: |a| > 1 для sin x = a или cos x = a — прямая выше окружности, пересечений нет. Второй: |c| > R для смешанного уравнения, где R = √(a² + b²) — максимум левой части меньше правой. В обоих случаях честный ответ «решений нет», и решатель сообщает это сразу.
Какая форма записи серии корней правильная?
Любая эквивалентная: x = (−1)^k·arcsin a + πk, две серии с шагом 2π, или запись через ±arccos для косинуса. Проверяющий обязан принимать любую корректную форму; решатель показывает одну из них, но при сверке важно убедиться, что серии задают одно и то же множество углов.
Зачем нужен отбор корней на отрезке?
В заданиях экзамена (например, задание 13 ЕГЭ) просят конкретные корни из промежутка, а не серию. Отбор делается перебором целых k: подставляйте k = 0, ±1, ±2 в серию, пока значения выходят за границы отрезка. Альтернатива — отметить серию на единичной окружности и снять нужные углы.
Куда дальше
Прогоните через решатель своё уравнение из домашней работы и сверьте серию. Формулы — в шпаргалке по тригонометрии. Полный формат экзаменационной задачи с отбором корней разобран в задании 13 ЕГЭ.