Логарифмические уравнения онлайн — решение по шагам
Логарифмическое уравнение — это уравнение, где неизвестное стоит под логарифмом или в его основании. Решатель берёт два главных типа: уравнения, сводящиеся к квадратному заменой t = logn x, и суммы логарифмов вида log(x) + log(x − k) = c. Каждый шаг — с объяснением, обязательной ОДЗ и проверкой корней подстановкой.
Решатель логарифмических уравнений
Выберите тип уравнения и введите коэффициенты. Решатель выполнит замену или свёртку, решит алгебраическое уравнение, проверит корни по ОДЗ и подстановкой, построит график левой части — корни отмечены там, где кривая пересекает ноль.
Уравнение: 2·log²ₙ(x) + -7·logₙ(x) + 3 = 0. Основание должно быть положительным и не равным единице. Дроби пишите через точку или запятую.
Три типа логарифмических уравнений
Прежде чем решать, определите тип уравнения — от этого зависит первый шаг. Все три типа разобраны на отдельных страницах с полным алгоритмом:
Простейшие логарифмические уравнения log_a x = b
Как решить простейшее логарифмическое уравнение log_a x = b.
Разобранный пример и алгоритмЛогарифмическое уравнение, сводящееся к квадратному: замена t = log_a x
Уравнения вида a·log²x + b·log x + c = 0.
Разобранный пример и алгоритмСумма логарифмов: log_a x + log_a (x − k) = c и отбор корней по ОДЗ
Уравнения вида log_a x + log_a (x−k) = c.
Разобранный пример и алгоритм
Разобранный пример: сведение к квадратному
Типовой пример контрольной работы — решаем тем же порядком, что и решатель:
ОДЗ выписано до вычислений: аргумент логарифма обязан быть положительным. Замена t = log₃x:
Дискриминант и кандидаты:
Оба кандидата допустимы — логарифм может быть любым числом. Возврат к x по определению:
Проверка первого корня подстановкой:
Второй корень проверяется так же: log₃√3 = ½, и подстановка даёт 2·¼ − 7·½ + 3 = 0. Ответ: x = 27 и x = √3.
Где живут посторонние корни
Ловушка темы: алгебра после замены или свёртки честно даёт кандидатов, которых в исходном уравнении не существует. Откуда они берутся:
- Свёртка суммы расширяет ОДЗ. В log₂x + log₂(x−6) = 4 после свёртки кандидат x = −2 даёт положительное произведение (−2)·(−8) = 16, но исходные логарифмы в этой точке не определены.
- Извлечение корня из логарифма. Уравнение log x² = b нельзя решать как log x = √b: правильный путь через 2log|x| = b — иначе теряются отрицательные корни.
- Отрицательный кандидат t — не всегда беда. log₃x = −1 законно даёт x = ⅓: отбрасывать отрицательные значения замены нельзя, барьер есть только у аргумента.
Правило одно: ОДЗ выписывается до преобразований по исходному уравнению, а финальный отбор идёт именно по ней. Подробно с примерами — на странице сумма логарифмов и отбор корней.
Алгоритм решения за 30 секунд
1. Определите тип
Один логарифм — простейшее. Логарифм в квадрате и в первой степени — замена t = log x. Сумма логарифмов с разными аргументами — свёртка в логарифм произведения.
2. Выпишите ОДЗ
Каждый аргумент строго больше нуля. Если основание — переменная, оно к тому же положительно и не равно единице. Это условие критериально для отбора корней.
3. Алгебра
Замена, квадратное уравнение, дискриминант — либо свёртка и переход к показательной форме по определению логарифма.
4. Возврат и отбор
Каждый кандидат t превращается в x = n^t. Значения, не входящие в ОДЗ, отбрасываются с явной формулировкой «посторонний корень».
5. Проверка подстановкой
Один корень, одна строка подстановки — и у вас есть и контроль арифметики, и готовое оформление для тетради и экзамена.
Частые ошибки
- Написать log²x вместо log(x²) или наоборот. Первое — квадрат логарифма, второе — логарифм квадрата; это разные уравнения с разными корнями.
- Забыть ОДЗ при свёртке суммы. Каждый аргумент проверяется на положительность отдельно: произведение положительно и при двух минусах.
- Потерять минус в показателе. log₃x = −2 даёт x = 1/9: минус уходит в степень основания, а не в ответ.
- Остановиться на t. Ответ уравнения — значения x; оставленная в ответе замена t = 3 считается незавершённым решением.
- Делить обе части на log x без случая log x = 0. Так теряется корень x = 1; сначала выносите общий множитель.
Частые вопросы
Зачем в логарифмических уравнениях проверять ОДЗ?
Потому что преобразования меняют область допустимых значений. Свёртка суммы логарифмов в логарифм произведения расширяет ОДЗ: произведение положительно и при двух отрицательных множителях, где исходные логарифмы не существуют. Без отбора корней по исходной ОДЗ в ответе оказываются посторонние решения — их и ловит проверка.
Что делать, если решатель не распознал моё уравнение?
Решатель берёт два типа: уравнения, сводящиеся к квадратному заменой t = log_n(x), и суммы логарифмов log(x) + log(x − k) = c. Определите тип своего уравнения, введите коэффициенты в соответствующем режиме и сверьте шаги. Более сложные уравнения разбираются методами с посадочных страниц — там пошаговые примеры для ручного счёта.
Почему в ответе могут получиться два корня, и оба верные?
Квадратная замена t = log_n x даёт до двух кандидатов, и каждый превращается в свой корень по определению логарифма. В примере ниже кандидаты три и одна вторая дают x = 27 и x = √3 — оба положительны и оба проходят проверку подстановкой. Отбрасывать корень можно только по ОДЗ, а не потому, что он выглядит неожиданно.
Чем логарифмическое уравнение отличается от показательного?
Логарифмическое ищет аргумент по известному значению логарифма, показательное — значение выражения по известной степени: log₂x = 5 против 2ˣ = 32. Связывает их определение: одно и то же равенство записывается в обеих формах. Поэтому решатель и сводит логарифмическое уравнение к показательной форме первым шагом.
Где логарифмические уравнения применяются на практике?
Всё, что растёт или затухает экспоненциально, при обратной задаче даёт логарифмическое уравнение: время полураспада, срок удвоения вклада, затухание сигнала в кабеле, шкала Рихтера для силы землетрясения. В задачниках это выглядит как «через сколько лет вклад удвоится» — и сводится к log с основанием темпа роста.
Куда дальше
Разобрали пример — закрепите метод на своей задаче: введите коэффициенты из домашней работы в решатель и сравните шаги. Формулы степеней и логарифмов — в шпаргалке. Для подготовки к экзамену посмотрите формат задания 6 ЕГЭ, где уравнения встречаются ежегодно.