Логарифмическое уравнение, сводящееся к квадратному: замена t = log_a x

Второй по частоте тип после простейших: логарифм встречается в уравнении дважды — в квадрате и в первой степени, а свободный член — число. Уравнение $2{\log }_3^{2}x-7{\log }_{3}x+3=0$ выглядит страшно, но присмотритесь: если обозначить $t={\log }_{3}x$, получится обычный квадратный трёхчлен $2t^2-7t+3=0$. Это метод замены переменной — тот же приём, что сводит биквадратное уравнение к квадратному.

Идея метода одной строкой#

Узнать уравнение этого типа просто: один и тот же логарифм ${\log }_{n}x$ присутствует в каждой степени, других логарифмов с иными аргументами нет. Если видите $\log x$, ${\log }^{2}x$ и число — замена сработает. Если же аргументы разные, например $\log (x+1)$ и $\log x$ вместе, — сначала пробуйте свойства логарифмов, чтобы собрать один аргумент, как на странице про сумму логарифмов.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   ОДЗ: $x>0$ — аргумент логарифма обязан быть положительным; выпишите это до вычислений.
2. 2
   Замена: $t={\log }_{n}x$. Уравнение превращается в квадратное относительно $t$.
3. 3
   Решите квадратное уравнение через дискриминант; кандидатов в $t$ может быть ноль, один или два.
4. 4
   Возврат: для каждого $t$ решите простейшее уравнение ${\log }_{n}x=t$, то есть $x=n^t$.
5. 5
   Отбор: каждый $x$ проверьте по ОДЗ и подстановкой; лишние кандидаты отбрасывайте с формулировкой «не входит в ОДЗ».

Разбираем флагманский пример#

Решаем $2{\log }_3^{2}x-7{\log }_{3}x+3=0$. ОДЗ: $x>0$. Замена $t={\log }_{3}x$ даёт $2t^2-7t+3=0$. Дискриминант $D=49-24=25$, корень из него равен пяти. Тогда $t=\frac{7\pm 5}{4}$, то есть $t_1=3$ и $t_2=\frac{1}{2}$. Два кандидата — значит, уравнение распадётся на два простейших.

Возврат: ${\log }_{3}x=3$ даёт $x=3^3=27$. А ${\log }_{3}x=\frac{1}{2}$ даёт $x=3^{1/2}=\sqrt{3}$. Оба значения положительны — ОДЗ не режет ничего. Ответ: $x=27$ и $x=\sqrt{3}$. Проверка первого: ${\log }_{3}27=3$, и подстановка в исходное уравнение даёт $2\cdot 9-21+3=0$ — сошлось. Именно эти два шага — дискриминант и возврат — показывает решатель логарифмических уравнений в режиме «сводится к квадратному».

Отдельная аккуратность: запись ${\log }_3^{2}x$ означает квадрат логарифма, $({\log }_{3}x{)}^2$, а не логарифм квадрата. У путаницы есть цена: ${\log }_3{x}^2$ — это $2{\log }_3|x|$, совсем другое уравнение с другим набором корней. Читая условие, определите по контексту, что имелось в виду; в печатных задачниках ${\log }^2$ всегда означает квадрат логарифма.

Что происходит с числом корней#

Последняя строка таблицы — любимая ловушка составителей. В примере ${\log }_3^{2}x-2{\log }_{3}x=-2$ замена даёт $t^2-2t+2=0$ с дискриминантом $-4$ — здесь корней нет вовсе, и писать «решений нет» честно и правильно. А вот если бы один из кандидатов оказался отрицательным, это ещё не приговор: ${\log }_{3}x=-1$ даёт законный $x=\frac{1}{3}$. Отрицательный $t$ запрещён только в голове, но не в показательной форме — основание в минус первой степени существует.

Типовые ошибки#

• Забыть возврат к x. Написать в ответ «$t=3$ и $t=\frac{1}{2}$» — потеря половины баллов: ответ уравнения это значения $x$, а не замены.
• Отбросить отрицательный t как «недопустимый». Допустимо всё, что даёт $x>0$: отрицательный логарифм означает лишь, что корень меньше единицы.
• Потерять множитель при log² при переносе слагаемых. Перед заменой приведите уравнение к виду «многочлен = 0», иначе коэффициенты перепутаются.
• Решить квадратное уравнение с ошибкой в знаке b. Дискриминант с минусом у седьмого слагаемого: $(-7{)}^2=49$, а не $-49$.