Сумма логарифмов: log_a x + log_a (x − k) = c и отбор корней по ОДЗ

Третий тип уравнений, который решатель берёт в работу, — сумма логарифмов с разными аргументами: ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)=4$. Здесь уже нельзя объявить весь логарифм переменной: аргументы разные. Зато работает свойство произведения — сумма логарифмов с одним основанием сворачивается в логарифм произведения. Главная опасность темы живёт именно здесь: преобразование расширяет ОДЗ, и без отбора корней вы честно получите лишний ответ.

Идея метода одной строкой#

После свёртки уравнение принимает вид ${\log }_a(\text{выражение})=c$ — то есть сводится к простейшему по определению. Дальше обычная алгебра: раскрыть скобки, решить квадратное уравнение. Всё было бы просто, если бы не обратная сторона свёртки: в исходном уравнении условия к $x$ два ($x>0$ и $x>k$), а в свёрнутом — одно ($uv>0$), и оно слабее.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Выпишите ОДЗ каждого аргумента: для ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)$ это $x>0$ и $x-6>0$, вместе $x>6$.
2. 2
   Сверните сумму в логарифм произведения: ${\log }_2(x(x-6))=4$.
3. 3
   По определению логарифма перейдите к алгебре: $x(x-6)=2^4=16$.
4. 4
   Решите получившееся уравнение (обычно квадратное) — получите кандидатов.
5. 5
   Отбор: кандидатов, не входящих в ОДЗ из первого шага, отбросьте. В ответ идут только прошедшие фильтр.

Разбираем флагманский пример#

Решаем ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)=4$. ОДЗ: $x>6$ — более сильное из двух условий поглощает слабое. Свёртка: ${\log }_2(x(x-6))=4$. По определению: $x(x-6)=16$. Раскрываем: $x^2-6x-16=0$. Дискриминант $D=36+64=100$, корень равен десяти. Кандидаты: $x=\frac{6\pm 10}{2}$, то есть $x=8$ и $x=-2$.

Отбор: минус два не входит в ОДЗ $x>6$ — посторонний корень, рождённый именно свёрткой (под логарифмом произведения он дал бы положительное $(-2)(-8)=16$, вот в чём подвох). Остался $x=8$. Проверка подстановкой: ${\log }_{2}8+{\log }_{2}2=3+1=4$ — верно. Ответ: $x=8$. Все пять шагов воспроизводит решатель логарифмических уравнений в режиме «сумма логарифмов», включая график левой части.

Почему посторонний корень так похож на настоящий? Потому что свёртка $\log u+\log v=\log uv$ безусловно верна справа налево, а слева направо — только при $u>0$ и $v>0$. Для $x=-2$ оба аргумента отрицательны, произведение положительно, и свёрнутая запись «работает», хотя исходное уравнение в этой точке вообще не определено. Отсюда железное правило: при любом преобразовании, сужающем или расширяющем ОДЗ, финальный отбор обязателен.

Как ОДЗ меняется от преобразования#

Таблица показывает зеркальную сторону свёртки: средняя строка шире первой. Корень из «широкой» зоны — например, отрицательный — пройдёт через алгебру и свёрнутый логарифм, но провалится на исходной ОДЗ. Именно поэтому ОДЗ выписывают в начале, по исходному уравнению, а не в конце.

Типовые ошибки#

• Сложить аргументы вместо логарифмов: ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)$ — это не ${\log }_2(2x-6)$. Складываются логарифмы, а не их аргументы.
• Выписать ОДЗ после решения. Кандидаты, полученные из свёрнутого уравнения, чем-то обязаны отбрасываться — и критерий у вас один: ОДЗ исходного уравнения.
• Потерять второе условие ОДЗ. В ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)$ условий два: $x>0$ и $x>6$; оставить только первое — пропустить отбор минус двойки.
• Записать в ответ посторонний корень «на всякий случай». Ответ уравнения — только корни, прошедшие ОДЗ и проверку; два ответа вместо одного засчитываются как ошибка.