Задание 6 ЕГЭ по математике (профиль): уравнения — разбор с примерами

Шестой номер — уравнение в одно-два действия: рациональное, иррациональное с корнем, показательное или логарифмическое. Корень обычно один или два, из них один может оказаться посторонним. Один первичный балл, ответ — конечная десятичная дробь или целое число. Сложность не в технике, а в дисциплине: ОДЗ здесь проверяет не строгий эксперт, а составитель условия, и посторонний корень в бланке стоит балла.

Формулы преобразований — в шпаргалке логарифмов и степеней и шпаргалке формул сокращённого умножения; пределы не нужны, но тренажёр пределов прокачивает ту же алгебраическую аккуратность. Здесь — механика шестого номера.

Где шестой номер отбирает баллы#

• Иррациональное уравнение возведено в квадрат без проверки: появился лишний корень, который попал в бланк. Проверка подстановкой обязательна всегда.
• Показательное уравнение приведено не к одному основанию: $4^x$ надо переписать как $2^{2x}$, иначе замена не сработает.
• Логарифмическое уравнение решено без ОДЗ: после потенцирования корень лезет туда, где логарифм не определён.
• Дробно-рациональное уравнение: ноль знаменателя — кандидат на «корень», который корнем быть не имеет. Вычеркните его до записи ответа.
• Арифметика дискриминанта: $b^2-4ac$ со знаком минуса в $b$ или $c$ — место, где теряется больше всего шестых номеров.

Алгоритм решения#

1. 1
   Определите тип: корень — иррациональное, степень с $x$ в показателе — показательное, логарифм — логарифмическое, дробь — рациональное.
2. 2
   Выпишите ОДЗ до решения: под корнем неотрицательно, в знаменателе не ноль, в логарифме положительно. ОДЗ здесь короткая, записывается в одну строку.
3. 3
   Приведите к простому виду: корень — уедините и возведите в квадрат; степени — приведите к одному основанию; логарифмы — к одному основанию и потенцируйте.
4. 4
   Решите получившееся уравнение: обычно квадратное или линейное. Дискриминант считайте аккуратно.
5. 5
   Проверьте кандидатов по ОДЗ и подстановкой в исходное уравнение — не в преобразованное.
6. 6
   Запишите тот корень, что прошёл проверку. Если просят меньший или больший — перечитайте вопрос перед бланком.

Пример 1. Иррациональное уравнение с посторонним корнем#

Условие: $\sqrt{7-x}=x-1$. Найдите корень уравнения; если корней несколько, в ответе укажите больший. ОДЗ: $x-1\ge 0$, то есть $x\ge 1$ — правая часть обязана быть неотрицательной, ведь слева стоит корень. Возводим в квадрат:

Кандидаты 3 и $-2$. Проверка: $x=3$ даёт $\sqrt{4}=2$ — верно. $x=-2$ даёт $\sqrt{9}=-3$ — слева два, справа минус три: посторонний. Ответ: 3. Обратите внимание: проверка по ОДЗ ($x\ge 1$) уже отсеяла двойку минус, но подстановка в исходник — самая дешёвая страховка от арифметической описки в самом ОДЗ.

Пример 2. Показательное уравнение через замену#

Условие: $4^x-2^{x+1}-8=0$. Найдите корень. Полный разбор — в интерактиве выше; ключевая строка:

Логарифмический вариант решается тем же скелетом: свести все логарифмы к одному основанию, потенцировать, решить квадратное, отсеять корни по ОДЗ. Техника одна, сюжеты меняются местами.

Чек-лист самопроверки#

• ОДЗ выписано до преобразований и проверено для каждого кандидата.
• Корень уединён перед возведением в квадрат.
• Степени приведены к одному основанию, замена введена явно.
• Квадрат суммы раскрыт с удвоенным произведением.
• Каждый корень подставлен в исходное уравнение; в бланк идёт тот, что прошёл.

Следующий номер тоже про производные: задание 7 — график, касательная и точки экстремума. Алгебру степеней и логарифмов повторите по шпаргалке логарифмов и степеней.

Ещё одна задача: показательное уравнение#

Решите уравнение $3^{x+2}-3^x=216$. Выносим общий множитель $3^x$ за скобку: $3^x(3^2-1)=3^x\cdot 8=216$, откуда $3^x=27$, то есть $x=3$. Два момента, на которых строится весь номер. Первый — общий множитель ищется не по одинаковым основаниям, а по одинаковым степеням: $3^{x+2}$ — это $3^x$, умноженная на 9, и именно это позволяет вынести $3^x$. Второй — проверка подстановкой занимает пять секунд: $3^5-3^3=243-27=216$, всё сходится. Для логарифмических уравнений того же семейства проверка ещё важнее: там она не страховка, а часть отбора корней по области определения, и пропуск проверки стоит балла даже при верном счёте.

Логарифмическое уравнение: ОДЗ и проверка#

Уравнение ${\log }_2(4-x)=5$. ОДЗ выписываем до всяких преобразований: аргумент логарифма положителен, то есть $4-x>0$, или $x<4$. Потенцируем по определению логарифма: это показатель, значит $4-x=2^5=32$, откуда $x=-28$. Дальше две обязательные проверки. По ОДЗ: $-28<4$, корень в области определения, аргумент равен $4-(-28)=32>0$. Подстановкой в исходное уравнение: ${\log }_{2}32=5$, потому что $2^5=32$. Обе проверки пройдены, ответ: $-28$.

Мораль примера в том, что корень получился отрицательным, и отбрасывать его было бы грубой ошибкой: отрицательным законно оказался сам корень, а не аргумент логарифма. Посторонним кандидата делает не «некрасивый знак», а нарушение области определения или несоответствие исходному уравнению. У логарифмических уравнений ловушка расставлена потенцированием: равенство логарифмов мы заменяем равенством аргументов, и кандидат с отрицательным аргументом выглядит решением, хотя логарифма от него не существует. Поэтому порядок действий всегда один: ОДЗ до преобразований, отсеивание кандидатов после них, контрольная подстановка в исходник перед записью ответа. Работает и графическая прикидка: аргумент $4-x$ положителен при любом $x$ левее четвёрки, значит корень обязан лежать в этой области — минус двадцать восемь находится в ней с запасом.