Задание 5 ЕГЭ по математике (профиль): сложная вероятность — разбор с примерами

Пятый номер — вероятность второй ступени: события разворачиваются по этапам, и простого $m/n$ уже мало. Типовые сюжеты: два завода с разным процентом брака, вероятность по обоим этапам («сначала выбор урны, потом шар»), события «в серии из трёх бросков хотя бы одно попадание». Один первичный балл, но работа объёмнее четвёртого задания: дерево, два-три умножения, одно сложение.

Аппарат берётся из уроков условная вероятность и формула Байеса; для серий независимых событий пригодится схема Бернулли. Здесь разберём механику на двух классах задач.

Ловушки пятого номера#

• Вероятности гипотез обязаны в сумме давать единицу. Если два завода дают 40% и 60% — хорошо; если 40% и 70% — ищите потерянный сценарий.
• Умножение вдоль ветви дерева, сложение между ветвями. Перепутали — получили число больше единицы.
• «Хотя бы одно» считается от противного: единица минус вероятность «ни одного». Прямой перебор серий из трёх событий — поле для пропусков.
• Независимость — не синоним несовместности: несовместные события не случаются вместе (произведение нулевое), независимые случаются вместе с произведением вероятностей.
• Вопрос Байеса читается в обратную сторону: известен результат (брак), спрашивают про источник. Перестановка условия и следствия — главная ошибка номера.

Алгоритм решения#

1. 1
   Выпишите гипотезы — сценарии первого этапа (заводы, урны, погода). Проверьте, что их вероятности дают ровно единицу.
2. 2
   Для каждой гипотезы выпишите условную вероятность события: «если первый завод, то брак 0,02».
3. 3
   Нарисуйте дерево: гипотезы — первая развилка, событие/не событие — вторая. Каждая ветвь — произведение.
4. 4
   Полная вероятность события: сумма произведений по всем ветвям, ведущим к событию.
5. 5
   Если спрашивают Байеса — разделите вес нужной ветви на полную вероятность: доля ветви среди всех путей к событию.
6. 6
   Проверьте масштаб: полная вероятность лежит между минимальной и максимальной условной вероятностью; байесовский ответ — между 0 и 1.

Пример 1. Полная вероятность: два завода#

Условие: первый завод выпускает 40% деталей, второй — 60%. Брак на первом — 2%, на втором — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленная деталь бракованная. Дерево имеет две ветви к браку:

Ответ: $0,038$. Здравая проверка: средний брак обязан лежать между 2% и 5% и быть ближе к 5%, потому что второй завод крупнее. Полученные $3,8\%$ — ровно посередине с лёгким креном к пятёрке: сходится.

Пример 2. Байес: источник брака#

Условие: деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она произведена на первом заводе? Полный разбор — в интерактиве выше; формула Байеса в чистом виде:

Третий сюжет — серии: вероятность хотя бы одного попадания при трёх выстрелах с точностью $0,6$ равна $1-0,4^3=0,936$. Считайте противоположное — это короче и надёжнее прямого перебора семи благоприятных сценариев.

Чек-лист самопроверки#

• Гипотезы перечислены полностью, их вероятности дают единицу.
• Каждый путь дерева — произведение; между ветвями — сложение.
• «Хотя бы одно» посчитано через единицу минус «ни одного».
• В байесовском вопросе числитель — вес одной ветви, знаменатель — полная вероятность.
• Ответ — десятичная дробь, разряды при сложении не потеряны.

Первая часть пройдена наполовину: дальше — уравнения: задание 6 с рациональными и иррациональными корнями. Теорию условной вероятности разложите в уроке условная вероятность, а точность расчётов — в тренажёре вероятности.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: «ровно одна» из трёх#

Условие: комната освещается тремя лампами, вероятность перегореть за год для каждой равна $0,2$, лампы перегорают независимо. Вопрос: какова вероятность, что за год перегорит ровно одна? Сценариев три: перегорела первая при исправных второй и третьей, перегорела вторая, перегорела третья. Каждый сценарий — произведение $0,2\cdot 0,8\cdot 0,8=0,128$; сценарии несовместны, поэтому их вероятности складываются: $3\cdot 0,128=0,384$.

Сильная проверка — полная группа. Считаем все сценарии разом: ни одной $0,8^3=0,512$; ровно одна — $0,384$; ровно две $3\cdot 0,2^2\cdot 0,8=0,096$; ровно три $0,2^3=0,008$. Сумма $0,512+0,384+0,096+0,008=1$ — ни один сценарий не потерян и не посчитан дважды. Попутно готов ответ на соседний вопрос «хотя бы одна»: $1-0,512=0,488$. Когда лампочек четыре и больше, прямой перебор сценариев громоздок — пора вспомнить схему Бернулли, урок по ней есть в начале страницы.

Дерево делает счёт наглядным: первая развилка — три лампы, вторая — «перегорела или исправна» для каждой. Всего путей восемь, и сумма их вероятностей равна единице — это и есть полная группа в графической форме. Путь «ровно одна» — три ветви, каждая с произведением $0,2\cdot 0,8\cdot 0,8$; путь «ни одной» — одна ветвь с тремя множителями $0,8$. Нарисовать такое дерево — дело двадцати секунд, а спасает оно от главной ошибки серии: спутать, где умножать, а где складывать.