Схема Бернулли: формула и задачи с решениями

Стрелок попадает по мишени в семи случаях из десяти. Он делает пять выстрелов. Сколько попаданий ждать — три? четыре? И какова вероятность ровно трёх? Каждый выстрел — монетка с перекосом: успех или промах, шансы не меняются, выстрелы не влияют друг на друга. Такой набор из $n$ повторений одного случайного опыта с двумя исходами называется схемой Бернулли — и это самая частая модель во всём курсе теории вероятностей.

Когда схема Бернулли работает#

Три условия, и все обязательны. Испытаний конечное число $n$. У каждого испытания ровно два исхода — «успех» и «неуспех». Вероятность успеха $p$ одна и та же в каждом испытании, а испытания независимы: результат броска не меняет шансы следующего.

Проверяйте условия вслух. Монета — да, схема Бернулли. Вынимание шаров из урны без возвращения — нет: после каждого вынимания состав урны меняется, значит меняется и $p$. Вынимание с возвращением — снова да. Сдача экзамена «наугад» по 25 вопросам с вероятностью правильного ответа 0,2 — да, если вопросы независимы и вы одинаково бездумны в каждом.

Формула Бернулли#

Вопрос: какова вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях? Разложим логику на два множителя. Во-первых, вероятность одной конкретной цепочки с $k$ успехами: успехи дают $p^k$, промахи — $q^{n-k}$, где $q=1-p$. Умножение законно — испытания независимы. Во-вторых, таких цепочек много: ровно $C_n^k$ — столько способов выбрать, какие именно $k$ испытаний из $n$ окажутся успешными. Собираем:

Пример с числами. Монету бросают 5 раз, ищем вероятность ровно трёх орлов. Здесь $p=q=1/2$, значит $P_5(3)=C_5^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{10}{32}=0,3125$. Обратите внимание, как удобно ведёт себя честная монета: множители $p^k{q}^{n-k}$ дают просто $1/32$, и вся неочевидность уходит в сочетание $C_5^3=10$.

Пример с перекосом. Стрелок с $p=0,8$ стреляет 3 раза. Ровно два попадания: $P_3(2)=C_3^2\cdot 0,8^2\cdot 0,2=3\cdot 0,64\cdot 0,2=0,384$. Проверка на полноту: посчитайте заодно $P_3(3)=0,512$, $P_3(1)=0,096$, $P_3(0)=0,008$ — все четыре вероятности в сумме дают ровно единицу. Так и должно быть: перечислены все возможные исходы.

Почему сумма всех $P_n(k)$ по $k$ от нуля до $n$ равна единице? Из-за биномиальной формулы из урока о комбинаторике: ${\sum }_k{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1^n=1$. Вероятностная логика и алгебра сходятся в одной точке — красивый момент, который стоит заметить.

Хотя бы один успех#

Самый частый запрос задачников: «найдите вероятность хотя бы одного успеха». Прямой ответ — сумма $P_n(1)+P_n(2)+\cdots +P_n(n)$, и считать её мучительно. Противоположное событие — «ноль успехов» — считается в одну строку: $P_n(0)=q^n$. Значит:

Числа: $n=5$, $p=0,3$. Тогда $1-0,7^5=1-0,16807=0,832$. Даже при неуверенном стрелке пять выстрелов почти гарантируют попадание — вот почему «серия попыток» работает лучше одной попытки.

Наивероятнейшее число успехов#

Какое число успехов самое вероятное? Интуиция говорит «около $np$» — и интуиция права, с маленькой поправкой. Число $k_0$ называется наивероятнейшим, если $P_n(k_0)\ge P_n(k)$ для всех остальных $k$. Оно удовлетворяет двойному неравенству:

Длина отрезка равна единице, поэтому внутри него либо одно целое число, либо два. Пример: $n=10$, $p=0,3$. Отрезок: $3-0,7=2,3\le k_0\le 3,3$ — единственный кандидат $k_0=3$. И вправду: $P_{10}(3)=C_{10}^3\cdot 0,3^3\cdot 0,7^7\approx 120\cdot 0,027\cdot 0,0824\approx 0,267$ — пик распределения именно там.

• Слова-маркеры «ровно» требуют прямого применения формулы $P_n(k)$.
• Слова «хотя бы», «не меньше одного» — сигнал идти через $1-q^n$.
• Слова «наиболее вероятно», «ожидаемо» — сигнал искать $k_0$ через неравенство.

Соберём формулу в бой на задаче с неудобными числами — именно такие пугают на контрольной. Студент угадывает ответ в тесте с вероятностью $p=0,25$, всего вопросов $n=10$. Каков шанс ровно трёх правильных? По формуле Бернулли $P_{10}(3)=C_{10}^3\cdot 0,25^3\cdot 0,75^7$. Считаем по частям: $C_{10}^3=120$; $0,25^3=0,015625$; $0,75^7\approx 0,1335$. Перемножаем: $120\cdot 0,015625\cdot 0,1335\approx 0,25$. Четверть шансов — неожиданно много для «тройки из десяти», зато интуитивно понятно: при четырёх вопросах с четырьмя вариантами угадывание — вполне рабочий план.

1. 1
   Сумма $P_n(k)$ по всем $k$ от нуля до $n$ обязана равняться единице — это полное разложение $(p+q{)}^n$.
2. 2
   Для серии $n=3$, $p=0,8$ из текста выше: $0,008+0,096+0,384+0,512=1,000$ — сходится.
3. 3
   Если ваша таблица вероятностей не даёт единицу, проверьте степени: успехи дают $p^k$, промахи $q^{n-k}$, а не наоборот.

• Формула Бернулли — про «ровно $k$». Любое другое слово в условии («хотя бы», «не больше») — это сумма или единица минус сумма.
• $C_n^k$ считает не успехи, а места успехов: выбрал места — расставил исходы.
• Честная монета упрощает всё: $p^k{q}^{n-k}=2^{-n}$, и остаётся только число цепочек.
• Сумма всех $P_n(k)$ — детектор арифметических ошибок: не единица, переделывай.

Полезная прикидка перед расчётом: среднее число успехов равно $np$. В задаче о тесте: $10\cdot 0,25=2,5$ — значит, пик вероятностей обязан лежать около двух-трёх попаданий. Проверяем: $P_{10}(2)=C_{10}^2\cdot 0,25^2\cdot 0,75^8\approx 45\cdot 0,0625\cdot 0,1001\approx 0,282$, а для трёх мы уже считали $0,250$. Пик действительно рядом с $np$ — двойное неравенство из раздела выше лишь делает эту интуицию точной.

• Постоянна ли вероятность $p$ от испытания к испытанию? Шар в урну вернули?
• Независимы ли испытания? Не «подстраивается» ли стрелок после промаха?
• Какое слово в вопросе: «ровно», «хотя бы» или «самое вероятное»? От него зависит формула.
• Сходится ли сумма вероятностей в единицу? Это бесплатная проверка всей таблицы.

Обратная постановка встречается постоянно: сколько испытаний нужно, чтобы «хотя бы один успех» стал вероятнее, чем «ни одного»? Стрелок с $p=0,2$: ищем $n$ из условия $1-0,8^n>0,5$, то есть $0,8^n<0,5$. При $n=3$ левая часть $0,512$ — ещё больше половины, шансы неудачи впереди. При $n=4$ получаем $0,4096<0,5$: четыре выстрела, и «хотя бы одно попадание» уже вероятнее ($1-0,4096\approx 0,59$). Логарифм даёт точную границу: $n>\frac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\approx 3,1$.

Куда всё это развивается: при больших $n$ столбики вероятностей $P_n(k)$ вытягиваются в симметричный колокол — формула Бернулли переходит в нормальное приближение, о котором подробно рассказано в уроке о нормальном распределении. А если успехи редкие ($p$ мал, а $n$ велик), на сцену выходит распределение Пуассона. Оба приближения выручают там, где честный подсчёт $C_n^k$ для $n=500$ вручную уже не сделать, а компилятор не всегда под рукой.