Нормальное распределение: кривая Гаусса и правило сигм

Измерьте рост ста случайных прохожих и постройте гистограмму. Взгляните на неё — вы увидите горб посередине и плавные склоны: большинство ростом около среднего, гигантов и коротышек мало. Та же картина повторится с ошибками измерений, деталями на конвейере, массой плодов. Природа массово повторяет одну и ту же кривую — нормальное распределение, колокол Гаусса. Разберём его устройство: тут всего два параметра, но за ними прячется половина статистики.

Кривая Гаусса и её параметры#

Нормальное распределение задаётся плотностью:

Два параметра, у каждого своя роль. μ — центр: колокол симметричен относительно этой точки, и она же служит модой, медианой и математическим ожиданием. σ — ширина: сигма управляет разбросом, её смысл — среднее квадратичное отклонение (напоминание о дисперсии). Увеличили σ — колокол расплылся и присел; уменьшили — сжался и подскочил. Множитель перед экспонентой подгоняет полную площадь под единицу, как требует любая плотность.

Форма кривой объясняется экспонентой: она гасит отклонения как квадрат — удвоили отклонение, «наказание» выросло вчетверо. Именно поэтому у колокола крутые бока и длинные, но быстро истончающиеся хвосты. Формула страшновата, но бояться нечего: в задачах интегрировать её руками не придётся, всё сведётся к таблице, а увидим мы это через минуту.

Правило сигм#

Для нормального распределения вероятности трёх канонических интервалов запоминаются наизусть. Их называют правилом сигм:

Числа несимметрично полезны: 68% и 95% вспоминают постоянно, 99,7% — когда хотят сказать «практически всё». Контроль качества живёт в этих числах: если деталь выходит за три сигмы, процесс подозревают в поломке. В социологии: IQ распределён примерно по нормальному закону со средним 100 и сигмой 15, значит «умнее двух сигм» (130+) — около 2% людей.

Стандартизация: как читать таблицу#

Таблиц для всех пар $(\mu ,\sigma )$ не напасёшься — их сводят к одной. Введём стандартную величину $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$: от значения отняли центр (обнулили) и поделили на сигму (перевели в единицах сигм). У $Z$ уже фиксированные параметры: $Z\sim N(0,1)$ — стандартное нормальное распределение. Его функция распределения обозначается $\Phi (x)$ и табулирована в любом учебнике.

Рост в популяции хорошо описывается $N(170,10^2)$ (сантиметры). Вероятность встретить человека ростом от 160 до 180: границы переводим в сигмы — $\frac{160-170}{10}=-1$ и $\frac{180-170}{10}=1$. По таблице $\Phi (1)\approx 0,8413$, значит $P=0,8413-0,1587=0,6826$ — то самое правило одной сигмы. Согласованность формулы и правила сигм — хороший самотест.

Пример посложнее: вероятность роста от 175 до 185. Границы: $0,5$ и $1,5$ сигмы. Таблица даёт $\Phi (0,5)\approx 0,6915$ и $\Phi (1,5)\approx 0,9332$. Разность: $0,2417$. А вероятность роста выше 190? Граница $2$ сигмы, нужна площадь правее: $1-\Phi (2)=1-0,9772=0,0228$. Два процента — те самые «двухсигмовые» люди.

Почему колокол повсюду#

Нормальное распределение не просто популярно — оно возникает само, когда много независимых мелких случайностей складываются вместе. Рост — результат сотен генетических и средовых вкладов; ошибка измерения — сумма десятков мелких помех; каждый вклад крошечный, а их сумма образует колокол. Точное утверждение называется центральной предельной теоремой и разбирается в уроке о законе больших чисел и ЦПТ. Сейчас важно почувствовать: колокол — предельная форма любой суммы мелкой случайности.

Практический ориентир: нормальная модель уместна, когда величина — итог сложения многих слабых независимых факторов и симметрична относительно центра. Несимметричные данные (время ожидания, доходы, размеры очередей) колоколом описывать опасно: у них перекос и тяжёлый хвост. Слепое применение гауссовой модели к зарплатам — классический источник «средняя температура по больнице» из начала урока.

Полная задача в производственном стиле. Автомат наполняет пакетики сахаром, масса — $N(50,0,5^2)$ грамма, на упаковке заявлено «50 г», а браком считается отклонение больше одного грамма. Какова доля брака? Отклонение в грамм при сигме $0,5$ — это ровно две сигмы: $z=\pm 2$. Внутри допуска лежит $\approx 95,45\%$ массы, значит брак — $1-0,9545=0,0455$, то есть $4,55\%$ пакетиков.

1. 1
   Смена — 4000 пакетиков. Ожидаемое число брака: $4000\cdot 0,0455\approx 182$.
2. 2
   Разброс числа бракованных: биномиальная сигма $\sqrt{4000\cdot 0,0455\cdot 0,9545}\approx \sqrt{173,7}\approx 13$.
3. 3
   Вывод для отдела качества: от 169 до 195 бракованных пакетиков за смену — норма; тревогу бить при выходе за эти границы.
4. 4
   Если ужесточить оборудование вдвое ($\sigma =0,25$), допуск станет четырьмя сигмами и брак упадёт до $0,006\%$: правый хвост за $z=4$ исчезающе мал. Вот почему за точность оборудования платят.

• 68–95–99,7: одна сигма — две трети значений, две — почти всё, три — практически всё.
• Сначала $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$, потом таблица — никаких «сырых» значений.
• Симметрия $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$ экономит половину таблицы.
• Интервал — разность значений функции, хвост — единица минус, точка — ноль.

Суммы нормальных величин — ещё один бонус модели. Две независимые детали с диаметрами $N(50,0,5^2)$ и $N(50,0,5^2)$ в сумме дают $N(100,0,5)$: ожидания складываются, дисперсии тоже ($0,25+0,25=0,5$), а сигмы — нет. Частая ошибка — сложить сигмы и получить сигму $1,0$; правильная сигма суммы $\sqrt{0,5}\approx 0,71$. Дисперсии, а не сигмы — держите это правило рядом с таблицей.

И заметьте: у нормального распределения все три «имени центра» — ожидание, медиана и мода — совпадают в одной точке $\mu$. Симметрия гарантирует равенство медианы и моды, а интегрирование даёт совпадение с ожиданием. У скошенных распределений эти три числа расходятся, и величина расхождения служит экспресс-диагностикой перекоса данных.

Если таблицы под рукой нет, запомните три значения: $\Phi (1)\approx 0,8413$, $\Phi (2)\approx 0,9772$, $\Phi (3)\approx 0,9987$. Их хватает для большинства учебных задач: любая граница округляется до ближайшей сигмы, а правило сигм даёт быстрый коридор ответа. Для точных расчётов таблица или калькулятор, для прикидки на экзамене — эти три числа.