🎲 Тервер

Как решать задачи на вероятность

Q: Как решать «хотя бы один» без длинного перебора?

Перейти к противоположному событию «ни одного»: $P = 1 - (1-p)^n$. Причина проста: событие «хотя бы один» распадается на много несовместных ветвей (ровно один, ровно два, …), а «ни одного» — одна ветка, где все неудачи умножились. Один минус вместо суммы из $n$ слагаемых.

Универсальный алгоритм: опыт → исходы → подсчёт n и m → выбор подхода → здравая проверка. Три мини-примера: шары из урны, «хотя бы один» через противоположное, дерево полной вероятности и Байеса.

Сложность: База Схема действий

Задачи на вероятность пугают формулировками («шары», «стрелки», «бракованные детали»), но решаются по одной и той же схеме: понять, какой опыт происходит, посчитать исходы, выбрать подход и проверить ответ на здравый смысл. Сложность задачи почти никогда не в формулах — она в том, чтобы не перепутать, что с чем умножать. Теория классического подхода — в уроке классическая вероятность, здесь — универсальный алгоритм и три типовых сценария.

Набор подходов небольшой: классическая формула $P = m / n$ с комбинаторикой, дерево решений с умножением и сложением, формула полной вероятности с Байесом, переход к противоположному событию для «хотя бы одного», схема Бернулли для серий. Весь комбинаторический арсенал ( $C$ и $A$ ) — в уроке комбинаторика и в термине размещения и сочетания.

Как решать задачи на вероятность: алгоритм#

Определите опыт и элементарные исходы: что происходит, сколько шагов, с возвратом или без? Запишите это словами — половина ошибок рождается из-за неверно понятого опыта.
Посчитайте $n$ — общее число исходов: правила суммы и произведения, при выборе из набора — сочетания $C_{n}^{k}$ (порядок не важен) или размещения $A_{n}^{k}$ (важен).
Посчитайте $m$ — число благоприятных исходов, теми же правилами, что и $n$ . Считайте $n$ и $m$ по одной схеме: если исходы для $n$ упорядочены, упорядоченными должны быть и благоприятные.
Выберите подход: равновозможные исходы — классика $P = m / n$ ; событие разворачивается по этапам — дерево или умножение; «хотя бы один» — переход к противоположному; известны гипотезы — полная вероятность; событие уже случилось и ищут причину — Байес; серия одинаковых независимых испытаний — схема Бернулли: $C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Вычислите вероятность по выбранной формуле, держа всё в точных дробях до последнего шага — округляйте только ответ.
Проверьте на здравый смысл: $P$ обязана лежать в $[0; 1]$ ; сравните с интуицией — «почти наверняка» должно давать число около единицы, «редкое» — около нуля. Ответ $1, 4$ или $- 0, 2$ — сигнал арифметической ошибки.

Пример задачи на вероятность с решением#

Мини-пример 1. Шары из урны (без возврата). В урне 5 белых и 3 чёрных шара, вытягивают два подряд без возврата. Вероятность, что оба белые? Исходы — неупорядоченные пары шаров: $n = C_{8}^{2} = 28$ . Благоприятные — пары из пяти белых: $m = C_{5}^{2} = 10$ . Ответ $P = 10/28 = 5/14 \approx 0, 357$ .

Мини-пример 2. «Хотя бы один» через противоположное. Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ , стреляет трижды независимо. Какова вероятность попасть хотя бы один раз? Считать напрямую — три неудобных ветви (один, два, три попадания). Дешевле через противоположное: «ни одного попадания» имеет вероятность $(1 - 0, 6)^{3} = 0, 4^{3} = 0, 064$ . Значит $P = 1 - 0, 064 = 0, 936$ . Правило: «хотя бы один» почти всегда решается минусом от единицы.

Мини-пример 3. Дерево диагноза (полная вероятность и Байес). Два цеха выпускают детали: первый — 60% всей продукции с долей брака 2%, второй — 40% с браком 5%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной — из какого цеха она вероятнее? Полная вероятность брака: $P = 0, 6 \cdot 0, 02 + 0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032$ . По Байесу вклад первого цеха: $P = 0, 012/0, 032 = 0, 375$ , второго — $0, 625$ : брак первого цеха даёт лишь $0, 012$ из $0, 032$ всего брака, а брак второго — $0, 02$ , то есть большую часть. Интуиция «бракуют чаще — виноваты» тут подтверждается арифметикой: у второго цеха и доля брака выше, и вклад в общий брак больше. Полная теория — в уроке формула Байеса.

Симулятор случая (Монте-Карло)

Бросай!

Нажимайте «бросок» или запустите автопуск — столбики частот будут тянуться к теоретическим вероятностям (красные метки). Это и есть закон больших чисел в действии.

Решка

Орёл

Бросков

Частота успеха

—

Теор. вероятность

60%

Отклонение

—

Чем больше бросков, тем меньше разброс: при 10 бросках «орёл» может выпать 70% случаев, а при 10 000 — почти никогда.

Три формулы, которые закрывают большинство задач курса:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B), P (A B) = P (A) P (B) (независимые), P (\geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}

сложение (с поправкой на пересечение), умножение для независимых событий и «хотя бы один» через противоположное

Ситуация в задаче	Подход
Равновозможные исходы, можно пересчитать $n$ и $m$	Классическая формула $P = m / n$
Выбор $k$ предметов из $n$ (карты, шары, комиссии)	Комбинаторика: $C_{n}^{k}$ — без порядка, $A_{n}^{k}$ — с порядком
Событие разворачивается по этапам, вероятности на ветвях	Дерево решений: умножение вдоль ветви, сложение между ветвями
«Хотя бы один» из нескольких попыток	Противоположное событие: $1 - (1 - p)^{n}$
Известны гипотезы (цеха, партии, погода) и условные шансы	Формула полной вероятности
Событие уже произошло, ищут вероятность причины	Формула Байеса
Серия $n$ одинаковых независимых испытаний	Схема Бернулли: $C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$

шпаргалка выбора: ситуация → подход

Типичные ошибки

Первая — сложение вместо умножения для независимых событий: два независимых выстрела с

p = 0, 6

дают «оба попали»

0, 6 \cdot 0, 6 = 0, 36

, а не

0, 6 + 0, 6 = 1, 2

— вероятности больше единицы не бывают, и это мгновенный детектор ошибки. Вторая — «хотя бы один» посчитанный напрямую: ветвь «один попадание» легко посчитать как

0, 6

(забыв, что остальные промахнулись) — путь через

1 - (1 - p)^{n}

короче и надёжнее. Третья — перепутанные

P (A ∣ B)

P (B ∣ A)

: в задаче Байеса спрашивают о причине при известном следствии, а в условии даны вероятности следствия при причине — не разворачивайте черту в обратную сторону.

Проверь себя+10 XP

Бросают две монеты. Какова вероятность, что обе упали орлом?

Проверь себя+10 XP

Вероятность брака на первом станке $0, 02$ , на втором $0, 05$ ; станки выпускают поровну деталей. Деталь бракованная — каков шанс, что она со второго станка?

Отработать сценарии: практика с проверкой — в тренажёре по вероятности и в тренажёре по комбинаторике, все формулы на одном листе — в шпаргалке по формулам вероятности и в шпаргалке по комбинаторике. Условная вероятность — строительный блок Байеса — разобрана в уроке условная вероятность, серии испытаний — в уроке схема Бернулли.

Частые вопросы

Когда применять классическую формулу, а когда дерево?

Если все элементарные исходы равновозможны и их можно пересчитать (урна, колода, кости) — классика $P = m / n$ . Если опыт распадается на этапы с разными шансами на каждом (стреляют сериями, детали идут из разных цехов, тест с ошибками) — дерево и умножение. Часто оба подхода дают одно и то же число разными дорогами — используйте второе как проверку.

Как решать «хотя бы один» без длинного перебора?

Перейти к противоположному событию «ни одного»: $P = 1 - (1 - p)^{n}$ . Причина проста: событие «хотя бы один» распадается на много несовместных ветвей (ровно один, ровно два, …), а «ни одного» — одна ветка, где все неудачи умножились. Один минус вместо суммы из $n$ слагаемых.

Чем формула Байеса отличается от полной вероятности?

Полная вероятность отвечает «вперёд»: каков шанс события, если известны гипотезы и их веса. Байес отвечает «назад»: событие уже случилось — какова вероятность, что его породила конкретная гипотеза. Знаменатель у них общий: полная вероятность и есть знаменатель формулы Байеса.