🌊 Диффуры

Как решать дифференциальные уравнения

Q: Как проверить найденное решение ДУ?

Дифференцированием: подставьте функцию и её производные в уравнение и убедитесь, что получилось тождество. Для задачи Коши дополнительно подставьте начальные условия и найдите по ним константы. Проверка занимает минуту и отлавливает почти все арифметические ошибки. Если в решении есть константы, проверяйте общий вид: константы должны сократиться, и тождество сходится при любом $C$.

Q: Что такое интегрирующий множитель и откуда он берётся?

Это множитель $\mu(x)$, после умножения на который левая часть линейного уравнения $y' + p(x)y = q(x)$ собирается в производную произведения: $(y\mu)' = \mu q$. Формула $\mu = e^{\int p\,dx}$ возникает из требования равенства коэффициентов: нужно, чтобы $\mu' = p\mu$.

Q: Как отличить Бернулли от линейного уравнения?

По правой части: у линейного это функция только от $x$ ($q(x)$), у Бернулли — $q(x)\,y^n$ с множителем $y$ в степени. Практический тест: вынесите $y$ за скобки — если справа осталась степень $y$, это Бернулли, и вам нужна замена $z = y^{1-n}$.

Дерево распознавания: разделяющиеся, однородные, линейные, Бернулли, полные дифференциалы; характеристическое уравнение для второго порядка. Разбор y' + 2y = e^x интегрирующим множителем.

Сложность: Первый курс Схема действий

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, в котором неизвестная функция связана со своими производными. Решить ДУ — значит найти все функции, которые при подстановке превращают равенство в тождество. Главный секрет темы: почти весь первый семестр — это не «решение», а распознавание типа: у каждого вида уравнения есть свой стандартный приём, и 90% успеха — правильно опознать, перед кем вы стоите.

Для уравнений первого порядка развилка такая: разделяющиеся переменные → однородные (замена $y = t x$ ) → линейные (интегрирующий множитель) → Бернулли (степень $n$ ) → в полных дифференциалах. Для второго порядка с постоянными коэффициентами всё проще — там одно характеристическое уравнение и три случая корней. Базовые определения — в уроке ДУ первого порядка: основы, ниже — алгоритм подстановки под задачу.

Как решать дифференциальные уравнения: алгоритм#

Определите порядок уравнения: старшая производная — первый или второй порядок? От этого зависит, по какой ветви пойдёте.
Попробуйте разделить переменные: приводится ли уравнение к виду $g (y) d y = f (x) d x$ ? Маркер — правая часть раскладывается в произведение «функция от $x$ » на «функцию от $y$ »: $y^{'} = f (x) g (y)$ . Тогда интегрируйте обе части независимо.
Не разделяется — проверьте однородность: правая часть зависит только от отношения $y / x$ ? Тогда замена $y = t x$ (откуда $y^{'} = t + x t^{'}$ ) превращает уравнение в разделяющееся относительно $t$ .
Проверьте линейность: уравнение имеет вид $y^{'} + p (x) y = q (x)$ ? Это линейное ДУ первого порядка. Приём — интегрирующий множитель $μ = e^{\int p d x}$ : после умножения слева собирается производная произведения $(y μ)^{'}$ .
Если справа $q (x) y^{n}$ при том же линейном левом боку — это уравнение Бернулли: замена $z = y^{1 - n}$ сводит его к линейному. При $n = 0$ Бернулли вырождается в обычное линейное.
Уравнение записано как $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ ? Проверьте условие $\partial M / \partial y = \partial N / \partial x$ : если оно выполнено, это полные дифференциалы — ищите функцию $u (x, y)$ с $d u = 0$ , ответ $u = C$ .
Второй порядок с постоянными коэффициентами $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ : составьте характеристическое уравнение $λ^{2} + p λ + q = 0$ и разберите три случая дискриминанта (см. формулу ниже).
Неоднородное правая часть $f (x) \neq = 0$ : общее решение = общее решение однородного + частное решение неоднородного. Финал всегда один: начальные условия находят константы, проверка — дифференцированием и подстановкой в исходное уравнение.

Как пользоваться деревом на практике — три быстрых диагноза. Уравнение $y^{'} = (x^{2} + 1) y$ : правая часть раскладывается в произведение функции от $x$ на функцию от $y$ , значит переменные разделяются. Уравнение $y^{'} + x y = x^{3}$ : слева ровно $y^{'} + p (x) y$ — линейное, множитель $μ = e^{x^{2} /2}$ . Уравнение $y^{'} = (y / x)^{2} + y / x$ : всё выражено через отношение $y / x$ — однородное, замена $y = t x$ . Прогоните условие по этой цепочке сверху вниз — первый сработавший фильтр и есть ваш метод.

Пример решения дифференциального уравнения#

Разберём классический экзаменационный номер: $y^{'} + 2 y = e^{x}$ . Слева — линейная структура $y^{'} + p y$ с константой $p = 2$ , справа — функция от $x$ . Это линейное ДУ первого порядка, и решим мы его интегрирующим множителем — самым быстрым способом для такой конструкции.

y' + 2y = e^x — шесть шагов до ответа

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

То же уравнение можно решить подстановкой Бернулли $y = uv$ — ответ выйдет идентичным, просто на шаг длиннее: разложение на уравнение для $u$ и для $v$ . Экзаменаторы принимают оба пути, но множитель короче. Для уравнений второго порядка вся механика прячется в характеристическое уравнение — его три случая:

λ^{2} + p λ + q = 0 : y = ⎩ ⎨ ⎧ C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}, (C_{1} + C_{2} x) e^{λ x}, e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x), D > 0 D = 0 D < 0, λ_{1, 2} = α \pm β i

три случая корней характеристического уравнения: действительные различные, кратный, комплексная пара

Для Бернулли часто спрашивают, почему замена именно $z = y^{1 - n}$ . Логика простая: делим уравнение на $y^{n}$ — слева появляются степени, которые после замены собираются в линейную структуру. Например, для $y^{'} + y = x y^{2}$ имеем $n = 2$ , замена $z = y^{- 1}$ даёт $z^{'} - z = - x$ — обычное линейное уравнение, дальше работаем интегрирующим множителем.

Быстрый пример второго порядка: $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0$ . Характеристическое уравнение $λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$ , дискриминант $D = 25 - 24 = 1 > 0$ , корни $λ_{1} = 2$ , $λ_{2} = 3$ — первый случай. Общее решение $y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}$ . Задача Коши $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ даёт систему $C_{1} + C_{2} = 1$ и $2 C_{1} + 3 C_{2} = 0$ , откуда $C_{2} = - 2$ , $C_{1} = 3$ : $y = 3 e^{2 x} - 2 e^{3 x}$ . Проверка: $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = (12 - 30 + 18) e^{2 x} + (- 18 + 30 - 12) e^{3 x} = 0$ — тождество. Если бы дискриминант был нулём, к экспоненте добавился бы множитель $x$ ; при $D < 0$ корни уезжают в комплексную плоскость — синусы и косинусы.

Вид уравнения	Метод
$y^{'} = f (x) g (y)$ — переменные разделяются	Интегрирование обеих частей: $\int \frac{d y}{g ( y )} = \int f (x) d x$
$y^{'} = F (y / x)$ — однородное	Замена $y = t x$ , затем разделение переменных
$y^{'} + p (x) y = q (x)$ — линейное	Интегрирующий множитель $μ = e^{\int p d x}$
$y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$ — Бернулли	Замена $z = y^{1 - n}$ сводит к линейному
$M d x + N d y = 0$ , $\partial M / \partial y = \partial N / \partial x$	Полные дифференциалы: $u (x, y) = C$
$y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ — второй порядок, постоянные коэффициенты	Характеристическое уравнение, три случая корней
$y^{''} + p y^{'} + q y = f (x) \neq = 0$	Общее однородного + частное неоднородного (метод неопределённых коэффициентов)

шпаргалка распознавания: вид → метод

Типичные ошибки

Первая — потерянные решения при делении: деля на

y

(или на

g (y)

), вы выбрасываете случай

y \equiv 0

— проверьте его отдельно. Вторая — знак

λ

: из

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

характеристическое уравнение

λ^{2} - 5 λ + 6 = 0

даёт корни

2

3

— минус при переносе в характеристическое уравнение ловит половину группы. Третья — константы при кратном корне: при

D = 0

решение

(C_{1} + C_{2} x) e^{λ x}

, а не

C_{1} e^{λ x} + C_{2} e^{λ x}

(это просто

C e^{λ x}

— одна константа вместо двух, второе независимое решение потеряно).

Проверь себя+10 XP

Уравнение $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ . Каково общее решение?

Проверь себя+10 XP

Деля уравнение $y^{'} = y^{2}$ на $y^{2}$ , вы рискуете потерять решение. Какое?

Куда идти дальше: разделяющиеся переменные с примерами — в уроке разделяющиеся переменные, линейные уравнения и Бернулли — в уроке линейные ДУ и Бернулли, второй порядок — в уроке линейные однородные ДУ. Условие на полные дифференциалы — в уроке полные дифференциалы. Все формулы темы — в шпаргалке по дифференциальным уравнениям, термин — в статье дифференциальное уравнение, практика — в тренажёре по ДУ. Для уравнений, у которых формульного решения нет, работает численный путь — он разобран в уроке метод Эйлера.

Частые вопросы

Как проверить найденное решение ДУ?

Дифференцированием: подставьте функцию и её производные в уравнение и убедитесь, что получилось тождество. Для задачи Коши дополнительно подставьте начальные условия и найдите по ним константы. Проверка занимает минуту и отлавливает почти все арифметические ошибки. Если в решении есть константы, проверяйте общий вид: константы должны сократиться, и тождество сходится при любом $C$ .

Что такое интегрирующий множитель и откуда он берётся?

Это множитель $μ (x)$ , после умножения на который левая часть линейного уравнения $y^{'} + p (x) y = q (x)$ собирается в производную произведения: $(y μ)^{'} = μ q$ . Формула $μ = e^{\int p d x}$ возникает из требования равенства коэффициентов: нужно, чтобы $μ^{'} = p μ$ .

Как отличить Бернулли от линейного уравнения?

По правой части: у линейного это функция только от $x$ ( $q (x)$ ), у Бернулли — $q (x) y^{n}$ с множителем $y$ в степени. Практический тест: вынесите $y$ за скобки — если справа осталась степень $y$ , это Бернулли, и вам нужна замена $z = y^{1 - n}$ .