Метод Эйлера: численное решение ДУ шаг за шагом

Разделяющиеся переменные, Бернулли, полные дифференциалы, характеристические уравнения — впечатляющий арсенал. А теперь неприятная правда: уравнение $y^{\prime }=x^2+y^2$, выглядящее скромнее всех своих решённых собратьев, не решается в элементарных функциях вообще. Ни один из изученных приёмов не берёт его. Тем не менее инженеры просчитывают подобные уравнения каждую секунду — в автопилотах, прогнозах погоды, расчёте мостов. Их секрет прост: если формулы нет, решение строят по шагам. Первый и самый наглядный численный метод предложил ещё Эйлер.

Идея: идти вдоль поля направлений#

Вспомните картину из первого урока: уравнение $y^{\prime }=f(x,y)$ задаёт в каждой точке плоскости наклон решения. Точное решение «стекает» вдоль этих чёрточек плавной кривой. Эйлер предложил двигаться грубо, но честно: в текущей точке спросить поле о направлении, сделать шаг прямой линией в этом направлении, снова спросить — и так далее. Получается ломаная, которая имитирует кривую.

Формула до неприличия проста. Наклон $f(x_k,y_k)$ в текущей точке умножаем на длину шага $h$ — это приращение по вертикали (наклон × пробег). Геометрически: на каждом отрезке ломаная идёт по касательной, проведённой в его начале. Касательная — хорошее приближение недалеко от точки, поэтому ошибка накапливается медленно, если шаг мелкий.

Считаем руками: $y' = x + y$, $y(0) = 1$#

Это уравнение на самом деле линейное и решается точно: $y=2e^x-x-1$ (проверьте подстановкой). Нам это на руку — будет с чем сравнивать. Берём шаг $h=0,2$ и делаем три шага до точки $x=0,6$.

Погрешность: что происходит при уменьшении шага#

Посчитаем тем же методом то же уравнение с шагом $h=0,1$ до $x=0,6$: получится $y\approx 1,943$ против точного $2,044$. Ошибка $0,101$. Сравните с ошибкой $0,188$ при $h=0,2$: шаг уменьшили вдвое — ошибка упала примерно вдвое. Это не совпадение, а закон природы метода Эйлера: его глобальная погрешность имеет первый порядок по шагу, $O(h)$. Хотите точность в 10 раз выше — делайте в 10 раз больше шагов и в 10 раз больше вычислений.

Строчка про Хойн — это Эйлер с одним хитрым уточнением: сначала сделать черновой шаг по Эйлеру, потом усреднить наклон в начале и в конце отрезка:

Цена — один дополнительный подсчёт $f$ на шаг; выигрыш — второй порядок точности $O(h^2)$: при уменьшении шага вдвое ошибка падает вчетверо. Дальше по этой лестнице стоит классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка ($O(h^4)$) — рабочая лошадка всех инженерных расчётов. Идея у всей лестницы одна: не доверять наклону только в начале шага, а опрашивать поле в нескольких точках внутри него.

Как на практике выбрать шаг

Точного ответа нет, но есть рабочий приём, который называют правилом Рунге: посчитайте решение дважды — с шагом $h$ и с шагом $h/2$ — и сравните в общей конечной точке. Большое расхождение означает, что шаг ещё грубый; уменьшайте, пока ответ не перестанет заметно меняться. Если расхождение крошечное — можно, наоборот, укрупнить шаг и сэкономить время счёта. Именно так поступают настоящие солверы: они дробят шаг автоматически там, где решение крутое, и растягивают его на гладких участках.

• Плюсы Эйлера: одна формула, один подсчёт $f$ на шаг, работает для любых систем первого порядка, легко программируется даже в таблице
• Минусы: первый порядок точности — много шагов ради точности; на длинных интервалах ошибка накапливается; на жёстких задачах требует запретно малый шаг
• Куда расти: Хойн (порядок 2), Рунге — Кутта 4 (порядок 4), неявные методы для жёстких задач

Два симулятора: линейный и логистический#

Линейный пример выше ведёт себя прилично: чем мельче шаг, тем лучше прилегание. Но у метода Эйлера есть тёмная сторона, которую удобно рассмотреть на нелинейном уравнении. Возьмём логистическое уравнение $y^{\prime }=y(1-y)$ — модель популяции с пределом роста. Его точное решение при $y(0)=0,2$ известно: $y=\frac{1}{1+4e^{-x}}$ — плавная S-образная кривая, стремящаяся к единице.

Что вы должны были заметить: при грубых шагах ломаная не просто отстаёт — она начинает дрожать вокруг истинного решения, а при совсем грубых улетает. Это вопрос устойчивости численного метода: шаг слишком велик не только неточен, но и меняет качественное поведение решения. Устойчивость — отдельная глава численного анализа, и она же объясняет, почему продвинутые симуляторы не дают вам крутить шаг до бесконечности.

• Эйлер = «иди по касательной в начале шага»: наклон, умноженный на шаг, — приращение
• Ошибка первого порядка $O(h)$: шаг вдвое мельче — ошибка вдвое меньше
• Хойн — Эйлер с усреднением наклона, порядок $O(h^2)$; Рунге — Кутта — $O(h^4)$
• Шаг выбирает правило Рунге: считаем дважды, сравниваем ответы в конце

Мини-прогон для самопроверки: уравнение $y^{\prime }=y$, $y(0)=1$, шаг $h=0,5$. Первый шаг: $y_1=1+0,5\cdot 1=1,5$. Второй: $y_2=1,5+0,5\cdot 1,5=2,25$. Точное значение $e\approx 2,718$ — ошибка почти пол-единицы всего на двух шагах. Сделайте восемь шагов $h=0,125$ на бумажке: выйдет $\approx 2,57$, ошибка сжалась почти втрое. Вот вам первый порядок точности вживую.

Метод Эйлера замыкает курс: от «что такое производная» до симуляций, на которых летают самолёты. Путь был такой: базовые понятия и задача Коши → разделяющиеся переменные → линейные уравнения и Бернулли → полные дифференциалы → высшие порядки → линейная теория с характеристическим уравнением → системы. Каждый тип решался формулой; когда формулы нет, работает Эйлер. Настоятельный совет: вернитесь к симуляторам этого урока и поиграйте с шагом — в методах Эйлера интуиция ценится не меньше формул. А интегралы, из которых всё это выросло, качайте на тренажёре интегралов — там же живёт таблица интегралов.