Фазовые траектории и фазовая плоскость: узел, седло, фокус, центр

Маятник стенных часов качается, боксёрская груша после удара затихает, вал двигателя раскручивается — у каждого движения сотни конкретных решений с разными стартами. Инженер не читает их по одному: он смотрит на одну картинку, фазовый портрет, и сразу видит судьбу системы — покой, вечное кружение или разгон вразнос. Научиться читать эту картинку можно за полчаса. Окупается на всей теории колебаний, в теории управления и, что приятнее, прямо на экзамене.

Что нарисовано на фазовой плоскости?#

Систему двух уравнений первого порядка $x^{\prime }=f(x,y)$, $y^{\prime }=g(x,y)$ удобно читать как движение точки: состояние — пара $(x,y)$, а правые части задают скорость её блуждания по плоскости. Точка стартует из начального состояния и вычерчивает фазовую траекторию — кривую со стрелками, показывающими направление времени. Само время в картинку не входит: оно спрятано в параметре. Термин фазовая плоскость разобран в словаре.

Отсюда главное отличие от привычных графиков. Интегральная кривая — это график одного решения $y(x)$: по осям функция и аргумент. Фазовая траектория — след точки $(x(t),y(t))$ при изменении $t$: обе оси — переменные системы. Для уравнения второго порядка $y^{\prime \prime }=F(y,y^{\prime })$ фазовая плоскость — это пары «позиция, скорость» $(y,y^{\prime })$. Уравнение $y^{\prime \prime }+y=0$ даёт синусоиды как интегральные кривые, а на фазовой плоскости — концентрические окружности $y^2+(y^{\prime }{)}^2=C^2$: движение одно, рисунки два.

• Через каждую точку проходит одна траектория: решения не пересекаются, иначе нарушится единственность
• Стрелка на кривой важнее её формы — по ней видно, куда система движется со временем
• Замкнутая траектория означает периодическое движение: система ходит по кругу вечно
• Точка, где обе правые части нулевые, — равновесие: ползти некуда, система остановилась

Есть и способ рисовать траектории без времени: исключить $t$ делением уравнений. Пока обе скорости не нулевые, $\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}$ — обычное уравнение первого порядка для кривых на плоскости. Время исчезло, а вместе с ним и направление движения: деление съедает информацию о том, куда именно идёт точка, поэтому стрелки приходится возвращать руками, по исходной системе.

Как определить тип особой точки по матрице?#

Начнём с линейных систем $x^{\prime }=ax+by$, $y^{\prime }=cx+dy$, где всё считается точно. Равновесие у них — начало координат, а его характер определяется матрицей $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$: нужны собственные значения из характеристического уравнения ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}A)\lambda +\det A=0$. Каждое собственное направление — «рельс»: вдоль него траектории просто сжимаются или растягиваются, и вся картинка собирается из этих рельсов. Собственные значения и векторы подробно разобраны в курсе линейной алгебры.

1. 1
   След и определитель: $\mathrm{tr}A=0+(-3)=-3$, $\det A=0\cdot (-3)-1\cdot (-2)=2$.
2. 2
   Характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+3\lambda +2=0$.
3. 3
   Раскладываем на множители: $(\lambda +1)(\lambda +2)=0$, корни ${\lambda }_1=-1$, ${\lambda }_2=-2$.
4. 4
   Оба корня вещественные и отрицательные — устойчивый узел. Собственные векторы $(1,-1)$ и $(1,-2)$ задают два «рельса», по которым траектории входят в ноль.
5. 5
   Читаем динамику: любое начальное состояние, кроме нуля, стягивается к равновесию — у системы есть трение, но нет вращения.

В физических системах первый ряд матрицы обычно связывает скорость с позицией, второй — ускорение с ними же; в этом смысле матрица кодирует всю механику целиком. Связь собственных значений с поведением решений линейных уравнений — в уроке про линейные однородные ДУ.

Разберём зеркальный случай — систему $x^{\prime }=y$, $y^{\prime }=-x$ с матрицей $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. След нулевой, определитель единица, уравнение ${\lambda }^2+1=0$ даёт $\lambda =\pm i$ — центр. Траектории — окружности $x^2+y^2=R^2$, точка бегает по ним с постоянной скоростью: колебания без трения, часовой циферблат в чистом виде. Проверка: $x=\cos t$, $y=-\sin t$ действительно удовлетворяет системе. Сместите след в минус ползунками интерактива ниже — окружности свернутся в спирали.

Отдельная осторожность — вырожденные случаи: $\det A=0$ (один корень нулевой — целая линия равновесий), кратный корень (вырожденный узел с одной касательной-рельсом) и кратный корень при нулевом следе. Таблица выше покрывает типовые картинки, но граничные режимы проверяются отдельно — именно там численные картины бывают коварны.

Почему сепаратриса маятника — граница двух режимов?#

Математический маятник — идеальный полигон: система нелинейная, но читаемая. Угол $\theta$ и угловая скорость $\omega$ дают пару ${\theta }^{\prime }=\omega$, ${\omega }^{\prime }=-\frac{g}{l}\sin \theta$. Возьмём $g=9.8$ и $l=0.5$ — отношение $\frac{g}{l}=19.6$. Равновесий два: $\theta =0$ (внизу) и $\theta =\pi$ (вверху, карандаш на острие) — именно они остаются, когда $\sin \theta =0$. Модель маятника разобрана в словаре: математический маятник.

Линеаризуем: матрица из частных производных правых частей — $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{g}{l}\cos \theta & 0\end{array}\right)$. Внизу $\cos 0=1$, и корни $\lambda =\pm i\sqrt{19.6}\approx \pm 4.43i$ чисто мнимые — центр: вокруг нижнего равновесия замкнутые овалы, маятник качается с амплитудой, заданной стартом. Вверху $\cos \pi =-1$, и корни $\lambda =\pm \sqrt{19.6}\approx \pm 4.43$ вещественные разных знаков — седло: верхнее равновесие неустойчиво, у него всегда есть убегающее направление.

Сепаратриса — траектория, проходящая через седло, и это граница двух жизней. Уровень энергии седла равен $E=\frac{g}{l}$; приравнивая, получаем ${\omega }^2=2\frac{g}{l}(1+\cos \theta )$, а по тождеству $1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ — и вовсе $\omega =\pm 2\sqrt{g/l}\cos \frac{\theta }{2}$. Внутри этой дуги — колебания: маятник ходит туда-обратно. Снаружи — вращения: энергии хватило, чтобы перелетать через верхнюю точку. Сама сепаратриса — предельный режим: маятник, который бесконечно долго подползает к перевёрнутому положению и никак не решает, на какую сторону упасть.

Собираем портрет целиком. Особые точки: центр в $(0,0)$ и его копии через каждые $2\pi$, сёдла в $(\pi ,0)$ и соседних. Линии уровня энергии $E$ дают форму траекторий: при малых $E$ овалы почти эллипсы — линеаризация здесь точна; при $E\to \frac{g}{l}$ овалы вытягиваются к сёдлам и сливаются в сепаратрису; выше — открытые волнистые полосы вращений. Стрелки расставляются по знаку $\omega$: сверху скорость положительна, снизу отрицательна. Ни одной формулы решения не потребовалось: энергия заменила интегрирование.

Добавим трение — член $k\omega$ во втором уравнении. При $k=0.6$ характеристическое уравнение ${\lambda }^2+0.6\lambda +19.6=0$ даёт корни $\lambda \approx -0.3\pm 4.42i$: вещественная часть отрицательна, мнимая ненулевая — устойчивый фокус. Спирали наматываются на нижнее равновесие, колебания затухают, часы останавливаются. Так затухающие колебания из курса механики читаются на фазовой плоскости с одного взгляда.

Как выглядит устойчивость по Ляпунову на фазовой плоскости?#

Фазовый портрет и устойчивость — одна и та же информация, увиденная глазами. Толкните маятник возле нижнего равновесия (центр): он перейдёт на соседний овал и останется на нём — движение рядом с исходным навсегда, но без возврата. Это устойчивость без асимптотики. У узла и фокуса соседние траектории втягиваются в равновесие — устойчивость асимптотическая. Седло неустойчиво: почти любой старт оно уводит на чужие орбиты. Строгие определения и теоремы — в уроке про устойчивость решений.

Определение Ляпунова в переводе на картинку звучит так: равновесие устойчиво, если все траектории, стартовавшие внутри маленького кружка вокруг него, навсегда остаются внутри большого; асимптотическая устойчивость добавляет требование стянуться к самой точке. Портрет проверяет это без вычислений: посмотрите, покидает ли траектория окрестность, — и вердикт готов.

Проверьте интуицию на знакомых предметах. Карандаш, поставленный вертикально на стол, — седло: идеально выставить его невозможно, малейший наклон растёт, и карандаш падает. Лежащий карандаш — устойчивое равновесие с трением, узел: сместили — вернулся в покой. Гироскоп без трения — центр: крутится вечно, сохраняя наклон. Три бытовых предмета — три типа устойчивости из таблицы; на экзамене эти образы срабатывают быстрее неё.

Практическое правило: для нелинейной системы тип равновесия судится по линеаризованной матрице, пока вещественные части корней не равны нулю. Центр — пограничный случай: нелинейные члены могут и сохранить замкнутые траектории, и превратить их в слабые спирали, поэтому честный вывод требует отдельной работы — функции Ляпунова или численного эксперимента. Когда аналитика кончается, портрет достраивают численно, как описано в уроке про численное решение ОДУ.

Что дальше: возьмите свою систему из тренажёра по дифференциальным уравнениям, найдите равновесия, посчитайте матрицу линеаризации и предскажите тип каждой точки — потом проверьте себя интерактивом выше. Загляните и в соседний урок про краевые задачи — там те же системы встречаются с условиями на границах, а все формулы курса собраны в шпаргалке по дифференциальным уравнениям.